Изменения
Нет описания правки
[[Файл:Vamos_matroid_N.png|thumb|300px200px|right]]
'''Матроид Вамоса''' или '''куб Вамоса''' {{---}} это [[ Определение_матроида | матроид]] над восьмиэлементным множеством, который не изоморфен матричному ни над каким полем. Он назван в честь английского математика '''Питера Вамоса''' ('''Peter Vámos'''), который первым описал его в неопубликованной рукописи в 1968.
== Задание матроида ==
Пусть <tex> E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}</tex>. Матроид Вамоса <tex>V</tex> удобно задать, назвав все его [[Определение_матроида | '''зависимые''']] множества: это все подмножества <tex>E</tex>, в которых не менее пяти элементов, а также <tex>\{1, 2, 5, 6\}, \{1, 2, 7, 8\}, \{3, 4, 5, 6\}, \{3, 4, 7, 8\}, \{5, 6, 7, 8\}</tex>.
{{Теорема
|statement=Так заданная Заданная конструкция является матроидом.
|proof=
}}
== Матроид Вамоса не представим ни над каким полем ==
{{Теорема
|statement=Матроид Вамоса не [[ Примеры_матроидов#.D0.91.D0.B8.D0.BD.D0.B0.D1.80.D0.BD.D1.8B.D0.B9_.D0.BC.D0.B0.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B8.D0.B4 | представим ]] ни над каким полем. Это значит, что не существует векторного пространства и системы из восьми векторов в нем, таких что матроид линейной независимости этих векторов изоморфен матроиду Вамоса.
|proof=
Это значит, что не существует векторного пространства и системы из восьми векторов в нем, таких что матроид линейной независимости этих векторов изоморфен матроиду Вамоса.
Предположим, что существует изоморфный <tex>V</tex> векторный матроид <tex>M = \langle E, J \rangle</tex>, где <tex>E = \{x1x_1, x2x_2, {{...}} , x8 x_8 \}</tex>, и для каждого <tex>i</tex> вектор <tex>x_i</tex> соответствует элементу <tex>i</tex> матроида Вамоса. Множество <tex>\{x1x_1, x2x_2, x3x_3, x4x_4\}</tex> является базисом <tex>M</tex>(так как <tex>\{1, 2, 3, 4\}</tex> {{---}} независимое множество в матроиде Вамоса). Запишем координаты каждого вектора в этом базисе: <tex>x_i = (a_{i1}, a_{i2}, a_{i3}, a_{i4})</tex>. Для дальнейшего нам понадобятся также векторы <tex>y_i = (a_{i1}, a_{i2}, 0, 0)</tex> и <tex>z_i = (0, 0, a_{i3}, a_{i4})</tex>, где <tex>i = 1, 2, {{...}} , 8</tex>. Ввиду линейной зависимости векторов <tex>x1x_1, x2x_2, x5x_5, x6x_6</tex> (соответствуют зависимому множеству в матроиде Вамоса) получаем равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:
<tex> \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \\ a_{61} & a_{62} & a_{63} & a_{64} \end{vmatrix} = 0 </tex>
<tex> \begin{vmatrix} x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5+z_5 \\ y_6+z_6 \\ y_7+z_7 \\ y_8+z_8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5+z_5 \\ \lambda y_5+ \mu z_5 \\ y_7+z_7 \\ \alpha y_7+ \beta z_7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} y_5 \\ \mu z_5 \\ y_7 \\ \beta z_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} y_5 \\ \mu z_5 \\ z_7 \\ \alpha y_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z_5 \\ \lambda y_5 \\ y_7 \\ \beta z_7 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} z_5 \\ \lambda y_5 \\ z_7 \\ \alpha y_7 \end{vmatrix} = </tex>
<tex> = \mu (\beta - \alpha) \begin{vmatrix} y_5 \\ z_5 \\ y_7 \\ z_7 \end{vmatrix} - \lambda ( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} y_5 \\ z_5 \\ y_7 \\ z_7 \end{vmatrix} = ( \mu - \lambda)( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{53} & a_{54} \\ a_{71} & a_{72} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = </tex>
<tex>( \mu - \lambda)( \beta- \alpha) \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_{53} & a_{54} \\ a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = 0</tex>
<tex> \begin{vmatrix} x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_7 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \\ a_{71} & a_{72} & a_{73} & a_{74} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{51} & a_{52} \\ a_{71} & a_{72} \end{vmatrix} =0 </tex>
то есть векторы <tex>\{x3x_3, x4x_4, x5x_5, x7\}x_7</tex> линейно зависимы, что противоречит условию.
}}
==См. также==
* [[Определение матроида]]
* [[Примеры матроидов]]
* [[Двойственный матроид]]
== Источники информации ==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/V%C3%A1mos_matroid Wikipedia {{---}} Vámos matroid]
*[http://www.lib.susu.ac.ru/ftd?base=SUSU_METHOD&key=000305409&dtype=F&etype=.pdf Элементарное введение в матроиды]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Матроиды]]
[[Категория:Основные факты теории матроидов]]
