Матфизика 6 семестр задания с лекций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль). Отве...»)
 
(не показаны 4 промежуточные версии этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль).
 
Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль).
−
Ответ на многие задачи интуитивно ясен, но решение обязано быть строго формальным.
+
Решения должны быть строго формальными.
  
−
Несколько обозначений:
+
Посчитать <tex> (f, \phi) </tex> (представить через интеграл и упростить если возможно), где <tex> f(x) </tex> равно:
−
* <tex> \sigma </tex> {{---}} ''дельта-функция Дирака''.
+
* <tex> x^2 </tex>
−
* <tex> \Theta(x) = [x \geqslant 0] </tex> {{---}} ''функция Хевисайда''
+
* <tex> \sigma(x) </tex>
 +
* <tex> \sigma(x-x_0) </tex>
 +
* <tex> \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] </tex>
 +
* <tex> ln|x| </tex>
 +
* <tex> \frac{1}{x} </tex>
  
−
{{Утверждение
+
 
−
|id=example
+
Показать что выполняется:
−
|author=
+
* <tex> \mathit{\Theta'} = \sigma </tex>
−
|about=Пример решения задачи
+
* <tex> \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) </tex>
−
|statement= <tex> \Theta' = \sigma </tex>
+
* <tex> ln'|x| = \frac{1}{x} </tex>
−
|proof=<tex> (\Theta',\ \phi) = -(\Theta,\ \phi') = \int\limits_{0}^{+\infty} -\phi' \, dx = -\phi(+\infty) + \phi(0) = \phi(0) = (\sigma,\ \phi) </tex>
+
* <tex> \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' \quad (\mathcal{D}' </tex> {{---}} пространство обобщённых функций <tex> ) </tex>
−
Пояснения к переходам:
+
* <tex> \ldots </tex>
−
* По определению обобщённой производной
+
* Здесь что-то было
−
* ...
+
* <tex> \ldots </tex>
−
* ...
+
 
−
* <tex> \phi </tex> {{---}} финитная
+
 
−
* Считалось когда-то
+
Решить уравнение:
−
}}
+
* <tex> (x-1)(x-2)y'' = \mathcal{P} \frac{1}{x-1} </tex>
 +
 
 +
 
 +
Показать что выполняется:
 +
* <tex> \cos nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex>
 +
* <tex> \sin nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad </tex>
 +
* <tex> e^{inx} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad </tex>

Версия 20:31, 31 марта 2015

Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль). Решения должны быть строго формальными.

Посчитать [math] (f, \phi) [/math] (представить через интеграл и упростить если возможно), где [math] f(x) [/math] равно:

  • [math] x^2 [/math]
  • [math] \sigma(x) [/math]
  • [math] \sigma(x-x_0) [/math]
  • [math] \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] [/math]
  • [math] ln|x| [/math]
  • [math] \frac{1}{x} [/math]


Показать что выполняется:

  • [math] \mathit{\Theta'} = \sigma [/math]
  • [math] \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) [/math]
  • [math] ln'|x| = \frac{1}{x} [/math]
  • [math] \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' \quad (\mathcal{D}' [/math] — пространство обобщённых функций [math] ) [/math]
  • [math] \ldots [/math]
  • Здесь что-то было
  • [math] \ldots [/math]


Решить уравнение:

  • [math] (x-1)(x-2)y'' = \mathcal{P} \frac{1}{x-1} [/math]


Показать что выполняется:

  • [math] \cos nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 [/math]
  • [math] \sin nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad [/math]
  • [math] e^{inx} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad [/math]
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Матфизика_6_семестр_задания_с_лекций&oldid=45229»