Матфизика 6 семестр задания с лекций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
Строка 2: Строка 2:
 
Решения должны быть строго формальными.
 
Решения должны быть строго формальными.
  
Посчитать <tex> (f ,\ \phi) </tex> (представить через интеграл и упростить если возможно), где <tex> f(x) </tex> равно:
+
Посчитать <tex> (f, \phi) </tex> (представить через интеграл и упростить если возможно), где <tex> f(x) </tex> равно:
 
* <tex> x^2 </tex>
 
* <tex> x^2 </tex>
 
* <tex> \sigma(x) </tex>
 
* <tex> \sigma(x) </tex>
Строка 8: Строка 8:
 
* <tex> \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] </tex>
 
* <tex> \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] </tex>
 
* <tex> ln|x| </tex>
 
* <tex> ln|x| </tex>
* <tex> frac{1}{x} </tex>
+
* <tex> \frac{1}{x} </tex>
  
  
 +
Показать что выполняется:
 
* <tex> \mathit{\Theta'} = \sigma </tex>
 
* <tex> \mathit{\Theta'} = \sigma </tex>
 
* <tex> \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) </tex>
 
* <tex> \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) </tex>
 
* <tex> ln'|x| = \frac{1}{x} </tex>
 
* <tex> ln'|x| = \frac{1}{x} </tex>
* <tex> \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' </tex>
+
* <tex> \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' \quad (\mathcal{D}' </tex> {{---}} пространство обобщённых функций <tex> ) </tex>
 
* <tex> \ldots </tex>  
 
* <tex> \ldots </tex>  
 
* Здесь что-то было
 
* Здесь что-то было
Строка 25: Строка 26:
  
 
Показать что выполняется:
 
Показать что выполняется:
* <tex> \cos nx \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex>
+
* <tex> \cos nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 </tex>
* <tex> \sin nx \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex>
+
* <tex> \sin nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad </tex>
* <tex> e^{inx} \rightarrow 0 \quad (n \rightarrow \infty) </tex>
+
* <tex> e^{inx} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad </tex>

Текущая версия на 20:31, 31 марта 2015

Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль). Решения должны быть строго формальными.

Посчитать [math] (f, \phi) [/math] (представить через интеграл и упростить если возможно), где [math] f(x) [/math] равно:

  • [math] x^2 [/math]
  • [math] \sigma(x) [/math]
  • [math] \sigma(x-x_0) [/math]
  • [math] \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] [/math]
  • [math] ln|x| [/math]
  • [math] \frac{1}{x} [/math]


Показать что выполняется:

  • [math] \mathit{\Theta'} = \sigma [/math]
  • [math] \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) [/math]
  • [math] ln'|x| = \frac{1}{x} [/math]
  • [math] \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' \quad (\mathcal{D}' [/math] — пространство обобщённых функций [math] ) [/math]
  • [math] \ldots [/math]
  • Здесь что-то было
  • [math] \ldots [/math]


Решить уравнение:

  • [math] (x-1)(x-2)y'' = \mathcal{P} \frac{1}{x-1} [/math]


Показать что выполняется:

  • [math] \cos nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 [/math]
  • [math] \sin nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad [/math]
  • [math] e^{inx} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad [/math]