Мера, порождённая внешней мерой — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
("У вас голова еще работает!? Или вы все уже к выборам готовитесь?")
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 11 промежуточных версий 6 участников)
Строка 6: Строка 6:
 
}}
 
}}
  
Так как <tex> B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) </tex>, то, по полуаддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex> всегда, поэтому, когда мы будем проверять, что одно множество хорошо разбивает другое, достаточно проверять неравенство <tex> \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>. Оно всегда верно, если <tex> \mu^*(B) = +\infty </tex>, поэтому далее будем проверять его только для случая <tex> \mu^*(B) \le +\infty </tex>.
+
Так как <tex> B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) </tex>, то, по полуаддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex> всегда, поэтому, когда мы будем проверять, что одно множество хорошо разбивает другое, достаточно проверять неравенство <tex> \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) </tex>. Оно всегда верно, если <tex> \mu^*(B) = +\infty </tex>, поэтому далее будем проверять его только для случая <tex> \mu^*(B) < +\infty </tex>.
 +
 
 +
{{Определение
 +
|definition=Множество <tex>A \subset X</tex> называется '''μ*-измеримым''', если оно '''хорошо разбивает''' всякое множество <tex>E \subset X</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Выделим в <tex> X </tex> класс <tex> \mu^*</tex>-измеримых множеств <tex> \mathcal{A} </tex>.
  
Выделим в <tex> X </tex> класс множеств <tex> \mathcal{A} </tex>, такой, что каждое <tex> A \in \mathcal{A} </tex> хорошо разбивает любое множество из <tex> X </tex>.
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Строка 19: Строка 24:
 
'''1.'''
 
'''1.'''
  
Сначала проверим аксиомы алгебры:
+
Сначала проверим аксиомы [[Полукольца и алгебры#Алгебра | алгебры]]:
  
<tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap \overline{\varnothing}) </tex>, значит, <tex> \varnothing \in \mathcal{A} </tex>.
+
# <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap \overline{\varnothing}) </tex>, значит, <tex> \varnothing \in \mathcal{A} </tex>.
 +
# Пусть <tex> A \in \mathcal{A} </tex>, тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = \mu^*(E \cap \overline{A}) + \mu^*(E \cap \overline{\overline{A}}) </tex>, значит, для <tex> \forall A \in \mathcal{A}:\ \overline{A} \in \mathcal{A}</tex>.
 +
# Пусть <tex> A, B \in \mathcal{A} </tex>.
 +
#: Заметим, что, так как <tex>\overline{A} \subset  \overline{A \cap B}</tex>, то <tex> E \cap \overline{A} = E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A} </tex>, и меры этих множеств равны.
 +
#: Также, <tex> A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} = \overline{(A \cup \overline{A}) \cap (B \cup \overline{A})} = \overline{(A \cap B) \cup \overline{A}} = \overline{A \cap B} \cap A </tex>, и <tex> \mu^*(E \cap A \cap \overline{B}) = \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) </tex>.
 +
#: Тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
 +
#: <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap \overline B) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
 +
#: <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A}) = </tex>
 +
#: <tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B}) </tex>.
 +
#: Значит, <tex> A \cap B </tex> тоже хорошо разбивает любое подмножество <tex> X </tex> и принадлежит <tex> \mathcal A </tex>. Мы доказали, что <tex> \mathcal A </tex> - алгебра.
  
Пусть <tex> A \in \mathcal{A} </tex>, тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = \mu^*(E \cap \overline{A}) + \mu^*(E \cap \overline{\overline{A}}) </tex>, значит, для <tex> \forall A \in \mathcal{A}:\ \overline{A} \in \mathcal{A}</tex>.
+
Пусть <tex> A \in \mathcal{A}, A = A_1 \cup A_2 </tex> и <tex>A_1 \cap A_2 = \varnothing</tex>, проверим, что <tex> \mu^* </tex> конечно-аддитивна.
  
Пусть <tex> A, B \in \mathcal{A} </tex>.  
+
<tex> \mu^*(A) = \mu^*(A_1 \cup A_2) = \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap A_1) + \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap \overline{A_1}) = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) </tex>.
  
Заметим, что, так как <tex> \overline{A \cap B} \subset \overline{A} </tex>, то <tex> E \cap \overline{A} = E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A} </tex>, и меры этих множеств равны.
+
Мы сделали проверку для двух множеств, дальше можно доказать требуемое для любого конечного числа множеств по индукции.
  
Также, <tex> A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} = \overline{(A \cup \overline{A}) \cap (B \cup \overline{A})} = \overline{(A \cap B) \cup \overline{A}} = \overline{A \cap B} \cap A </tex>, и <tex> \mu^*(E \cap A \cap \overline{B}) = \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) </tex>.
+
'''2.'''
 
 
Тогда <tex> \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
 
 
 
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap \overline B) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = </tex>
 
  
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A}) = </tex>
+
Из первого пункта мы уже знаем, что, <tex> \forall p \in \mathbb N: </tex>, если <tex> A_1, A_2, ..., A_p \in \mathcal{A} </tex> дизъюнктны, то <tex> \mu^*(E \cap \bigcup\limits_{j = 1}^{p} A_j) = \sum\limits_{j = 1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
  
<tex> = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B}) </tex>.
+
Пусть <tex> B_p = \bigcup\limits_{j=1}^{p} A_j, B_p \in \mathcal A </tex>.
 +
Полагая <tex> B = \lim\limits_{p \rightarrow \infty} B_p </tex>, для доказательства того, что <tex> \mathcal{A} </tex> является <tex> \sigma </tex>-алгеброй, нам нужно установить неравенство:
 +
<tex>\forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{B}) </tex>.
  
Значит, <tex> A \cap B </tex> тоже хорошо разбивает любое подмножество <tex> X </tex> и принадлежит <tex> \mathcal A </tex>. Мы доказали, что <tex> \mathcal A </tex> - алгебра.
+
<tex> B_p \in \mathcal A </tex>, поэтому <tex> \mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_p) + \mu^*(E \cap \overline{B_p}) = \mu^*(E \cap \overline{B_p}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
  
Пусть <tex> A \in \mathcal{A}, A = A_1 \cup A_2 </tex>, проверим, что <tex> \mu^* </tex> конечно-аддитивна.
+
<tex> \overline{B} \subset \overline{B_p} \Rightarrow \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
  
<tex> \mu^*(A) = \mu^*(A_1 \cup A_2) = \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap A_1) + \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap \overline{A_1} = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) </tex>.
+
При <tex> p \rightarrow \infty </tex>, получаем <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(E \cap A_j) </tex>.
  
Мы сделали проверку для двух множеств, дальше можно доказать требуемое для любого конечного числа множеств по индукции.
+
Но <tex> E \cap B \subset \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(E \cap A_j) </tex>, поэтому <tex> \sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu^*(E \cap A_j) \ge \mu^*(E \cap B) </tex>, и <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \mu^*(E \cap B) </tex>. Требуемое неравенство доказано, <tex> B \in \mathcal A </tex>.
  
'''2.'''
+
Подставим в <tex> \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j)\ \ B</tex> вместо <tex> E </tex>, получим <tex> \mu^*(B) \ge \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>. Но по <tex> \sigma </tex>-аддитивности внешней меры, <tex> \mu^*(B) \le \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>, поэтому <tex> \mu^*(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty} A_j) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) </tex>, и <tex> \mu^* </tex> - <tex> \sigma </tex>-аддитивная мера на <tex> \mathcal A </tex>.
  
 +
Дальше еще две строчки, но, вроде бы, они не нужны.
  
 
}}
 
}}

Текущая версия на 19:12, 4 сентября 2022

<< >>


Определение:
Пусть есть множество [math] X [/math] и внешняя мера [math] \mu^* [/math] на нем, и множества [math] A, B [/math] являются подмножествами [math] X [/math]. Множество [math] A [/math] хорошо разбивает множество [math] B [/math], если [math] \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) [/math].


Так как [math] B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) [/math], то, по полуаддитивности внешней меры, [math] \mu^*(B) \le \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) [/math] всегда, поэтому, когда мы будем проверять, что одно множество хорошо разбивает другое, достаточно проверять неравенство [math] \mu^*(B) \ge \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline{A}) [/math]. Оно всегда верно, если [math] \mu^*(B) = +\infty [/math], поэтому далее будем проверять его только для случая [math] \mu^*(B) \lt +\infty [/math].


Определение:
Множество [math]A \subset X[/math] называется μ*-измеримым, если оно хорошо разбивает всякое множество [math]E \subset X[/math].


Выделим в [math] X [/math] класс [math] \mu^*[/math]-измеримых множеств [math] \mathcal{A} [/math].

Теорема:
1) [math] \mathcal{A} [/math][math] \sigma [/math]-алгебра множеств.
2) [math] \mu^* |_{\mathcal{A}} [/math] — мера на [math] \mathcal{A} [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство разбиваем на 2 этапа. На первом этапе мы докажем, что [math] \mathcal{A} [/math] - алгебра, а [math] \mu^* [/math] конечно-аддитивна на этой алгебре. На втором этапе — что [math] \mathcal{A} [/math][math] \sigma [/math]-алгебра, а [math] \mu^* [/math] является [math] \sigma [/math]-аддитивной на ней.

1.

Сначала проверим аксиомы алгебры:

  1. [math] \forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap \overline{\varnothing}) [/math], значит, [math] \varnothing \in \mathcal{A} [/math].
  2. Пусть [math] A \in \mathcal{A} [/math], тогда [math] \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = \mu^*(E \cap \overline{A}) + \mu^*(E \cap \overline{\overline{A}}) [/math], значит, для [math] \forall A \in \mathcal{A}:\ \overline{A} \in \mathcal{A}[/math].
  3. Пусть [math] A, B \in \mathcal{A} [/math].
    Заметим, что, так как [math]\overline{A} \subset \overline{A \cap B}[/math], то [math] E \cap \overline{A} = E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A} [/math], и меры этих множеств равны.
    Также, [math] A \cap \overline{B} = \overline{\overline{A} \cup B} = \overline{(A \cup \overline{A}) \cap (B \cup \overline{A})} = \overline{(A \cap B) \cup \overline{A}} = \overline{A \cap B} \cap A [/math], и [math] \mu^*(E \cap A \cap \overline{B}) = \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) [/math].
    Тогда [math] \forall E \subset X: \mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = [/math]
    [math] = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap A \cap \overline B) + \mu^*(E \cap \overline{A}) = [/math]
    [math] = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap A) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B} \cap \overline{A}) = [/math]
    [math] = \mu^*(E \cap A \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{A \cap B}) [/math].
    Значит, [math] A \cap B [/math] тоже хорошо разбивает любое подмножество [math] X [/math] и принадлежит [math] \mathcal A [/math]. Мы доказали, что [math] \mathcal A [/math] - алгебра.

Пусть [math] A \in \mathcal{A}, A = A_1 \cup A_2 [/math] и [math]A_1 \cap A_2 = \varnothing[/math], проверим, что [math] \mu^* [/math] конечно-аддитивна.

[math] \mu^*(A) = \mu^*(A_1 \cup A_2) = \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap A_1) + \mu^*((A_1 \cup A_2) \cap \overline{A_1}) = \mu^*(A_1) + \mu^*(A_2) [/math].

Мы сделали проверку для двух множеств, дальше можно доказать требуемое для любого конечного числа множеств по индукции.

2.

Из первого пункта мы уже знаем, что, [math] \forall p \in \mathbb N: [/math], если [math] A_1, A_2, ..., A_p \in \mathcal{A} [/math] дизъюнктны, то [math] \mu^*(E \cap \bigcup\limits_{j = 1}^{p} A_j) = \sum\limits_{j = 1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) [/math].

Пусть [math] B_p = \bigcup\limits_{j=1}^{p} A_j, B_p \in \mathcal A [/math]. Полагая [math] B = \lim\limits_{p \rightarrow \infty} B_p [/math], для доказательства того, что [math] \mathcal{A} [/math] является [math] \sigma [/math]-алгеброй, нам нужно установить неравенство: [math]\forall E \subset X: \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap \overline{B}) [/math].

[math] B_p \in \mathcal A [/math], поэтому [math] \mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_p) + \mu^*(E \cap \overline{B_p}) = \mu^*(E \cap \overline{B_p}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) [/math].

[math] \overline{B} \subset \overline{B_p} \Rightarrow \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j) [/math].

При [math] p \rightarrow \infty [/math], получаем [math] \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(E \cap A_j) [/math].

Но [math] E \cap B \subset \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}(E \cap A_j) [/math], поэтому [math] \sum\limits_{j=1}^{\infty}\mu^*(E \cap A_j) \ge \mu^*(E \cap B) [/math], и [math] \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \mu^*(E \cap B) [/math]. Требуемое неравенство доказано, [math] B \in \mathcal A [/math].

Подставим в [math] \mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap \overline{B}) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu^*(E \cap A_j)\ \ B[/math] вместо [math] E [/math], получим [math] \mu^*(B) \ge \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) [/math]. Но по [math] \sigma [/math]-аддитивности внешней меры, [math] \mu^*(B) \le \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) [/math], поэтому [math] \mu^*(\bigcup\limits_{j=1}^{\infty} A_j) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \mu^*(A_j) [/math], и [math] \mu^* [/math] - [math] \sigma [/math]-аддитивная мера на [math] \mathcal A [/math].

Дальше еще две строчки, но, вроде бы, они не нужны.
[math]\triangleleft[/math]

<< >>