Мера Лебега в R^n — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(вроде дописал то, чего не было)
Строка 31: Строка 31:
 
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
 
Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.
  
Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>, <tex> E </tex> — все рациональные числа на <tex> I </tex>. <tex> E </tex> — счётное, всюду плотное. Тогда <tex> \lambda E  = 0</tex>, а <tex> \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 </tex>. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1.
+
Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>, <tex> E </tex> — все рациональные числа на <tex> I </tex>. <tex> E </tex> — счётное, всюду плотное. Тогда <tex> \lambda E  = 0</tex>, а <tex> \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 </tex>. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Парадокс({{TODO| t = почему?}})
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
  
 
{{TODO|t=Achtung! Тут есть ещё что-то(или уже нет?)}}
 
{{TODO|t=Achtung! Тут есть ещё что-то(или уже нет?)}}

Версия 01:16, 1 января 2012

Эта статья находится в разработке!


TODO: ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ

Последняя теорема показывает, что [math]v[/math] — мера на [math]\mathcal{R}[/math].

Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате [math]v[/math] будет распространено на [math]\sigma[/math]-алгебру множеств [math]\mathcal{A} \subset \mathbb{R}^n[/math].


Определение:
Полученная мера [math]\lambda_n[/math][math]n[/math]-мерная мера Лебега (можно просто [math]\lambda[/math]).


Определение:
Множества [math]E\in\mathcal{A}[/math] — измеримые по Лебегу


Цель этого параграфа — устрановить структуру множества, измеримого по Лебегу. Пойдём от простого к сложному, базируясь на общем критерии [math]\mu^*[/math]-измеримости и на том, что [math]\mathcal{A}[/math][math]\sigma[/math]-алгебра.

[math]\forall\bar x \in \mathbb{R}^n[/math] обозначим за [math]\Pi_p = [\bar x - \frac1p, \bar x + \frac1p)[/math]

Тогда [math]\{\bar x\} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \Pi_p[/math]

[math]\{\bar x\}[/math] — одноэлементное множество. Так как каждая ячейка измерима по Лебегу, [math]\mathcal{A}[/math][math]\sigma[/math]-алгебра, то получаем, что любое одноэлементное множество(точка) измеримо по Лебегу.

По монотонности меры, [math]\lambda(\bar x) \leq \lambda\Pi_p = v(\Pi_p) = \left(\frac{2}{p} \right)^n \xrightarrow{p\to\infty} 0[/math]

Значит, [math]\lambda(\bar x) = 0[/math]. Итак, мера точки равна нулю.

[math]E = \{\bar x_1, \bar x_2, \ldots, \bar x_n, \ldots \}[/math] — не более, чем счётное множество точек. Тогда [math]\lambda E = \sum\limits_j \lambda\bar x_j = 0[/math]

Значит, любое счётное множество точек измеримо и нульмерно.

Возьмём [math]I = [0; 1)[/math], [math]\lambda I = 1[/math], [math] E [/math] — все рациональные числа на [math] I [/math]. [math] E [/math] — счётное, всюду плотное. Тогда [math] \lambda E = 0[/math], а [math] \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 [/math]. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Парадокс( TODO: почему?)




TODO: Achtung! Тут есть ещё что-то(или уже нет?)