Изменения

{{В разработке}} {{TODO[[Объём n-мерного прямоугольника|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]

Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset 2^{\mathbb{R}^n} </tex>.

|definition=Полученная мера <tex>\lambda_n</tex> {{---}} <tex>n</tex>-мерная '''мера Лебега ''' (можно просто <tex>\lambda</tex>).

|definition=Множества <tex>E\in\mathcal{A}</tex> {{---}} '''измеримые по Лебегу'''.

Возьмём <tex>I = [0; 1)</tex>, <tex>\lambda I = 1</tex>, <tex> E </tex> — все рациональные числа на <tex> I </tex>. <tex> E </tex> — счётное, всюду плотное. Тогда <tex> \lambda E = 0</tex>, а <tex> \lambda \overline E = 1 - \lambda E = 1 </tex>. То есть для иррациональных чисел мера Лебега — 1. Парадокс(Это, в некотором смысле, парадоксальный результат, потому что искусственных объектов, которые мы определили в начале всего курса матанализа, оказалось ужасно, невероятно, невообразимо много по сравнению с познаваемыми нами рациональными числами. {{TODOУтверждение| t statement=Бог есть.|proof=К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = почему?1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, Бог есть.}} Если взять произвольный параллелепипед в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем, и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>\mathbb{R}^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.

|statement=Бог естьОткрытое множество в <tex> \mathbb{R}^n </tex> измеримо по Лебегу.

К сожалениюМножество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелепипедом. Далее, человечество может работать лишь эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с натуральными этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.}} Класс измеримых множеств есть <tex>\sigma</tex>-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, значит, оно тоже измеримо. Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и рациональными числамиобъединения пошагово строим интересующий нас объект. == Теорема о внешней мере Лебега == {{Теорема|statement=Пусть <tex> E \subset \mathbb R ^n </tex>. Тогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества).|proof=Так как <tex> E \subset G </tex>, то, по монотонности внешней меры, <tex> \lambda^* E \le \lambda^* G = \lambda G </tex>. Переходя к нижней грани, получаем <tex> \lambda^*E \le \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex>. Докажем теперь противоположное неравенство.Как обычно, будем рассматривать случай <tex> \lambda^* E < +\infty </tex>, для <tex> \lambda^* E = +\infty </tex> оно тривиально. Внешняя мера Лебега порождена функцией объема на полукольце ячеек. Сути же иррациональных чисел им не понятьЗначит, <tex> \forall \varepsilon > 0: E \subset \bigcup\limits_{m} A_m </tex> - объединение ячеек, такое, что <tex> \sum\limits_{m} v(A_m) < \lambda^* E + \varepsilon </tex>. Однако За счет непрерывности объема, для любого <tex> A_m </tex> существует <tex> B_m </tex> - открытый параллелепипед, такой, что <tex> A_m \subset B_m </tex> и <tex> v(B_m) < v(A_m) + \frac{\varepsilon}{2^m} </tex>. <tex> A_m \subset B_m </tex>, поэтому <tex>E \subset \bigcup\limits_m B_m = G, G </tex> - открытое множество рациональных чисел нульмерно. Но  <tex> \sum\limits_m v(B_m) \le \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon \sum\limits_m \frac1{2^m} = \sum\limits_m v(A_m) + \varepsilon </tex> Как мы ранее выяснили, <tex> \sum\limits_{m} v(A_m) < \lambda^* E + \varepsilon </tex>, поэтому, <tex> \sum\limits_m v(B_m) < \lambda^* E + 2\varepsilon </tex>. Так как <tex> G = \bigcup\limits_m B_m </tex>, то <tex>\lambdaG \le \sum\limits_m v(B_m) </tex>. Значит, для любого <tex> \varepsilon > 0 </tex> есть открытое <tex> G </tex>, содержащее <tex> E </tex>, такое, что <tex> \lambda G < \lambda^* E + 2\varepsilon </tex>. При <tex> \varepsilon \rightarrow 0 </tex> получаем требуемое неравенство.}} Выведем ряд важных следствий из этой теоремы. Далее нам пригодятся множества <tex> \Delta_p = [-p; p) \times [-p; p) \times \ldots \times [-p; p), p \in \mathbb N </tex> Несложно заметить, что <tex>\mathbb R ^n = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} \Delta_p </tex>. {{Теорема|statement=Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда:# <tex> \forall \varepsilon </tex> существует открытое <tex> G </tex>, такое, что <tex> E \subset G, \lambda(G \setminus E) < \varepsilon </tex>.# <tex> \forall \varepsilon </tex> существует замкнутое <tex> F </tex>, такое, что <tex> F \subset E, \lambda(E \setminus F) < \varepsilon </tex>.|proof= Сначала докажем первый пункт теоремы. Если мера <tex> E </tex> конечна, то просто воспользуемся только что доказанной теоремой: <tex> \forall \varepsilon > 0;</tex> есть открытое <tex> G </tex>: <tex> \lambda G - \lambda E < \varepsilon</tex>. По аддитивности меры, <tex>\lambda G - \lambda E = \lambda (G \setminus E)</tex>, и требуемое выполнено. Рассмотрим теперь случай, когда мера <tex>E</tex> бесконечна: <tex>E = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (E \cap \Delta_p) </tex>, для любого <tex>p</tex> верно: <tex>\lambda (E \cap \Delta_p) < \lambda (\Delta_p) < \infty</tex>. Случай конечной меры был доказан, поэтому <tex> \forall \varepsilon </tex> можно взять <tex> G_p </tex>, такое, что <tex> E \cap \Delta_p \subset G_p, \lambda(G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) < \frac{\varepsilon}{2^p} </tex>. Возьмем в качестве требуемого множества <tex>G</tex> объединение всех <tex>G_p</tex>: <tex>G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p</tex> открыто и содержит <tex>E</tex>. <tex>G \setminus E \subset \bigcup\limits_{p= 1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex>. Ввиду своей ненульмерности Тогда, по свойству меры, иррациональные числа неподвластны человеку<tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex>. Значит Второй пункт доказывается переходом к дополнениям: Пусть <tex>\overline E = \mathbb R ^n \setminus E</tex>, по первому пункту, <stex>б\forall \varepsilon </stex>Бог естьоткрытое <tex> G:\ \overline E \subset G, \lambda(G \setminus \overline E) < \varepsilon </tex>. Пусть <tex>F = \overline G</tex>. По определению, <tex>F</tex> {{---}} замкнутое множество. Так как <tex>\overline E \subset G</tex>, то <tex>\overline G \subset E,\ \lambda(E\setminus F) = \lambda (G \setminus \overline E) < \varepsilon</tex>, и требуемые условия выполнены. }} {{Теорема|statement=Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда <tex> \lambda E = \sup\limits_{F: F \subset E} \lambda F </tex> (F - замкнутые множества).|proof=Для доказательства достаточно воспользоваться вторым пунктом предыдущей теоремы и устремить <tex> \varepsilon </tex> к нулю.}} Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> (все <tex>F_m</tex> - замкнуты), то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>. Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> (все <tex>G_m</tex> - открыты), то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>. Такие множества также являются измеримыми по Лебегу, как счетное объединение (пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы). {{Теорема|statement=Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде <tex> E = A \cup B </tex>, причем A - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>, а <tex> \lambda B = 0</tex>.|proof=Воспользуемся вторым пунктом предпоследней теоремы: пусть <tex> \varepsilon_m = \frac1m </tex>, тогда будем брать <tex> F_m \subset E: \lambda(E\setminus F_m) < \frac1m </tex>. Пусть <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex>, по определению, <tex> A </tex> - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>. Тогда <tex> B = E \setminus A, B \subset E \setminus F_m\ \forall m </tex> По монотонности меры, <tex> \lambda B \le \lambda (E \setminus F_m) < \frac1m </tex>. При <tex> m \rightarrow \infty </tex>, получаем <tex> \lambda B = 0 </tex>, что и требовалось.

{{TODO[[Объём n-мерного прямоугольника|t=Achtung! Тут есть ещё что-то(или уже нет?)}}<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]][[Категория: Математический анализ 2 курс]]