689
правок
Изменения
м
{{В разработке}} {{TODO[[Объём n-мерного прямоугольника|t=ВАКАНСИЯ: ВНИМАТЕЛЬНЫЙ ЧИТАТЕЛЬ. НУЖЕН, ЧТОБЫ ОЗНАКОМИТЬСЯ С ЭТИМ ТЕКСТОМ И ИСПРАВИТЬ КОСЯКИ}}<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
Нет описания правки
Последняя теорема показывает, что <tex>v</tex> {{---}} мера на <tex>\mathcal{R}</tex>.
Применим к объёму ячеек процесс Каратеодори. В результате <tex>v</tex> будет распространено на <tex>\sigma</tex>-алгебру множеств <tex>\mathcal{A} \subset 2^{\mathbb{R}^n} </tex>.
{{Определение
|statement=Бог есть.
|proof=
К сожалению, человечество может работать лишь с натуральными и рациональными числами. Сути же иррациональных чисел им не понять. Однако, множество рациональных чисел нульмерно. Но <tex>\lambda[0;1) = 1</tex>. Ввиду своей ненульмерности, иррациональные числа неподвластны человеку. Значит, <s>б</s>Бог есть.
}}
Если взять произвольный параллелепипед в <tex>\mathbb{R}^n</tex>, то, за счет непрерывности обьема, как функции точек параллелепипеда, мы можем строить и ячейку в нем , и ячейку, включающую его (причем объем ячеек отличается на <tex>\varepsilon</tex>). Значит, параллелепипед тоже измерим. Рассмотрим открытое множество в <tex>\mathbb{R}^n</tex>. Оно - объединение открытых шаров, или множество, которое вместе с каждой точкой содержит и открытый шар с центром в этой точке.
{{Утверждение
|statement=
Открытое множество в <tex> \mathbb{R}^n </tex> измеримо по Лебегу.
|proof=
Множество точек с рациональными координатами всюду плотно. Если рассмотреть совокупность открытых шаров с центром в рациональных точках и рациональных радиусов, то множество таких шаров будет счетно. Вместо шаров можно использовать открытые параллелепипеды, которые, как известно, измеримы. Если мы возьмем любую точку, то она будет содержаться во множестве вместе с некоторым параллелеипипедомпараллелепипедом. Далее, эту точку можно приблизить рациональными координатами сколь угодно точно; для каждого приближения можно построить параллеллепипед с этой точкой, содержащийся в уже построенном параллелепипеде. Значит, открытое множество можно представить, как счетное объединение открытых параллелепипедов, содержащихся в нем, поэтому, оно измеримо.
}}
Класс измеримых множеств есть <tex>\sigma</tex>-алгебра. Замкнутое множество есть дополнение к открытому, значит, оно тоже измеримо.
Логика рассуждений во многих последующих теоремах будет такова: из множеств, измеримость которых ясна, путем счетного числа операций пересечения и объединения пошагово стоим строим интересующий нас объект.
== Теорема о внешней мере Лебега ==
Пусть <tex> E \subset \mathbb R ^n </tex>. Тогда <tex> \lambda^*E = \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex> (<tex> G </tex> - открытые множества).
|proof=
Так как <tex> E \subset G </tex>, то, по монотонности внешней меры, <tex> \lambda^* E \le \lambda^* G = \lambda G </tex>. Переходя к верхней нижней грани, получаем <tex> \lambda^*E \le \inf\limits_{G: E \subset G} \lambda G </tex>.
Докажем теперь противоположное неравенство.
<tex> A_m \subset B_m </tex>, поэтому <tex>E \subset \bigcup\limits_m B_m = G, G </tex> - открытое множество.
<tex> \sum\limits_m v(A_mB_m) \le \sum\limits_m v(A_m ) + \varepsilon \sum\limits_m \frac1{2^m} = \sum\limits_m v(A_m ) + \varepsilon </tex>
Как мы ранее выяснили, <tex> \sum\limits_{m} v(A_m) < \lambda^* E + \varepsilon </tex>, поэтому, <tex> \sum\limits_m v(B_m) < \lambda^* E + 2\varepsilon </tex>.
Возьмем в качестве требуемого множества <tex>G</tex> объединение всех <tex>G_p</tex>: <tex>G = \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} G_p</tex> открыто и содержит <tex>E</tex>.
<tex>G \setminus E = \subset \bigcup\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p))</tex>.
Тогда, по полуаддитивности внешней свойству меры, <tex>\lambda (G \setminus E) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} (G_p \setminus (E \cap \Delta_p)) \le \sum\limits_{p=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^p} = \varepsilon</tex>.
Второй пункт доказывается переходом к дополнениям:
Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда <tex> \lambda E = \sup\limits_{F: F \subset E} \lambda F </tex> (F - замкнутые множества).
|proof=
Для доказательства достаточно воспользоваться вторым пунктом предыдущей теоремы и устремить <tex> \varepsilon </tex> к нулю.
}}
Если <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex> замкнуто(все <tex>F_m</tex> - замкнуты), то оно называется множеством типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
Если <tex> B = \bigcap\limits_m G_m </tex> открыто(все <tex>G_m</tex> - открыты), то оно называется множеством типа <tex> G_{\Delta} </tex>.
Такие множества также являются измеримыми по Лебегу , как счетное объединение (это очевидно?пересечение) измеримых множеств (ранее показывалось, что открытые и замкнутые множества измеримы).
{{Теорема
Пусть <tex> E </tex> измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде <tex> E = A \cup B </tex>, причем A - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>, а <tex> \lambda B = 0</tex>.
|proof=
Воспользуемся вторым пунктом предпоследней теоремы: пусть <tex> \varepsilon_m = \frac1m </tex>, тогда будем брать <tex> F_m \subset E: \lambda(E\setminus F_m ) < \frac1m </tex>.
Пусть <tex> A = \bigcup\limits_m F_m </tex>, по определению, <tex> A </tex> - множество типа <tex> F_{\sigma} </tex>.
По монотонности меры, <tex> \lambda B \le \lambda (E \setminus F_m) < \frac1m </tex>. При <tex> m \rightarrow \infty </tex>, получаем <tex> \lambda B = 0 </tex>, что и требовалось.
}}
[[Объём n-мерного прямоугольника|<<]][[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
[[Категория: Математический анализ 2 курс]]
