Изменения

[[Полукольца и алгебры|<<]] [[Математический_анализ_2_курсВнешняя мера|>>]]

Пусть <tex> (X, \mathcal R) </tex> - — полукольцо. <tex> m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R_R}_{+}}</tex> называется '''мерой''' на нем, если:

1) # <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>. 2) # Для дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R </tex> и <tex> A \in \mathcal R </tex>, такого, что <tex> A = \bigcup\limits_{n} A_n </tex>, <tex> m(A) = \sum\limits_n m(A_n) </tex> (сигма-аддитивность).

* <tex> \mathcal R = 2^X, m(\varnothing) = 0, m(A) = +\infty </tex>;(патологический)* <tex> X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_k P_n </tex> - — сходящийся положительный ряд, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex>, для <tex> A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} </tex> (множество может быть конечным) полагаем <tex> m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k </tex>;* Для полукольца ячеек примером меры является <tex> m(A) = b - a </tex>, где <tex> A = [a; b) </tex> - — длина ячейки. То, что длина ячейки;является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.

То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее. Выведем 2 два важных свойства меры на полукольце:

1) Для <tex> A \in \mathbb mathcal R </tex> и дизъюнктных <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>\bigcup\limits_{n} A_n \subset A </tex> , выполняется <tex> \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) </tex>.

2) Для <tex> A \in \mathbb mathcal R </tex> и <tex> A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R</tex> таких, что <tex>A \subset \bigcup\limits_{n} A_n </tex> , выполняется <tex> m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) </tex> (''сигма-полуаддитивность''). ''Замечание:'' в случае <tex> n = 1</tex> второе свойство <tex>A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) </tex> называют ''монотонностью'' меры.

1)  Пусть <tex> A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p </tex>(дизъюнктны), тогда <tex> A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p </tex>. По сигма-аддитивности меры, <tex> m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) + \sum\limits_{p} m(D_p) </tex>. Так как второе слагаемое неотрицательно, то <tex> m(A) \ge \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) </tex>. Устремляя <tex> N </tex> к бесконечности, получаем требуемое. 2) Так как <tex> A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) </tex>, каждое из пересечений принадлежит <tex> \mathcal R </tex>, то <tex> A = \bigcup\limits_{p} B_p </tex> (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры <tex> m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) </tex>. Разобьем множества <tex> B_p </tex> на группы, так чтобы в группе с номером <tex> n </tex> были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством <tex> A_n </tex>. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой <tex> A_n </tex>, поэтому получаем <tex> m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) </tex>.

 [[Полукольца и алгебры|<<]] [[Математический_анализ_1_курс#.D0.93.D0.BB.D0.B0.D0.B2.D0.B0_V_.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8BВнешняя мера|>>]]