Мера подграфика — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(тех будет потом)
Строка 72: Строка 72:
  
 
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.
 
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.
 +
 +
Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.
 +
 +
f — ограниченная функция, E — измеримое множество конечной меры.
 +
 +
f — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существует.
 +
 +
\exists \int\limits_E f d \lambda_n
 +
 +
\tau‘ E = \bigcup\limits_{\tau=1}^p e_\tau — дизъюнктны(какой-то треш)
 +
 +
m_\tau = \inf\limits_{e_\tau} f(x), M_\tau = \sup\limits_{e_\tau} f(x)
 +
 +
\underline s (\tau) = \sum\limits_{?=1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_\tau
 +
 +
\underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau)
 +
 +
Итак, \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau)
 +
 +
В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик.
 +
 +
Аналогично с M_? : G(f) \subset \overline G(\tau)
 +
 +
\lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau.
 +
 +
По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau)
 +
 +
В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n. Базовый случай разобран.
 +
 +
Далее разбор случаев:
 +
 +
1) \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверх) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима.
 +
 +
\lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана.
 +
 +
2) Если f не ограничена на E произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки:
 +
 +
f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases}
 +
 +
f_m(x) — измеримая, f_m(x) \to (m \to \infty) f(x)
 +
 +
f_m(x) — возрастает, f_m(x) \le f_{m+1} (x)
 +
 +
По теореме Леви:
 +
 +
\int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n
 +
 +
G_m — подграфик срезки f_m
 +
 +
срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае.
 
}}
 
}}

Версия 02:46, 4 января 2012

Эта статья находится в разработке!

Геометрический смысл интеграла Лебега.

E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_+

G(f) = G = \{ (x_1, \dots , x_{n + 1} \in \mathbbR^{n+1} : (x_1 \dots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots x_n) \} — подграфик функции.

Теорема (о мере подграфика):
G(f) — измерим, \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n

Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами.

Если f(x1 \dots x_n) = c \ge 0 на E, то подграфик называется цилиндром в \mathbbR^{n + 1}.

Утверждение: G - цилиндр высоты c \ge 0, имеримое E \in \mathbbR^n — основание. Тогда он измерим и \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E.

Доказательство:

схема — от простого к сложному, применяется критерий \mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания).

1) Пусть E — параллелепипед (ячейка), то G тоже ячейка, формула выполняется. 2) Пусть E — открытое множество. Его можно записать в форме E = \bigcup\limits_n \Delta_n — дизъюнктно

G_n = \Delta_n \times [a, c]

G - E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n — дизъюнктны.

G_n — измеримы, следоватлеьно, G — измеримо.

По сигма-аддитивности меры \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E

3) E — ограниченное замкнутое множество.

E \in \Delta — открытый параллелепипед.

\overline E = \Delta \setminus E — открыто — можно применить пункт 2:

\lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E

\lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta_m

E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E

4) E — ограничено и измеримости \forall \varepsilon > 0, по свойствам меры Лебега.

Пусть F_\varepsilon — замкнутое, G_\varepsilon — открытое:

F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon.

F_\varepsilon \times [a, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c].

\lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon

\varepsilon — мало, следоватлеьно, по критерию \mu^*-измеримости, G — измеримо. По монотонности меры:

c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon

\lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon (\varepsilon мало, это единственное число, которое можно вставить)

c: c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E.

5) E — измеримое множество.

Мера Лебега — сигма-конечна. E можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера E = пределу мер.

Так же запишется цилиндр G, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа.

Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.

Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.

f — ограниченная функция, E — измеримое множество конечной меры.

f — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существует.

\exists \int\limits_E f d \lambda_n

\tau‘ E = \bigcup\limits_{\tau=1}^p e_\tau — дизъюнктны(какой-то треш)

m_\tau = \inf\limits_{e_\tau} f(x), M_\tau = \sup\limits_{e_\tau} f(x)

\underline s (\tau) = \sum\limits_{?=1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_\tau

\underline G (\tau) = \bigcup\limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau)

Итак, \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau)

В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик.

Аналогично с M_? : G(f) \subset \overline G(\tau)

\lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline s(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau.

По критерию \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau)

В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n. Базовый случай разобран.

Далее разбор случаев:

1) \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверх) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима.

\lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана.

2) Если f не ограничена на E произв. меры, то выстраиваем так называемые срезки:

f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases}

f_m(x) — измеримая, f_m(x) \to (m \to \infty) f(x)

f_m(x) — возрастает, f_m(x) \le f_{m+1} (x)

По теореме Леви:

\int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n

G_m — подграфик срезки f_m

срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае.