Мера подграфика
Геометрический смысл интеграла Лебега.
E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_+
G(f) = G = \{ (x_1, \dots , x_{n + 1} \in \mathbbR^{n+1} : (x_1 \dots x_n) \in E, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots x_n) \} — подграфик функции.
| Теорема (о мере подграфика): |
G(f) — измерим, \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n
Сначала установим, как факты, связанные с цилиндрами. Если f(x1 \dots x_n) = c \ge 0 на E, то подграфик называется цилиндром в \mathbbR^{n + 1}. Утверждение: G - цилиндр высоты c \ge 0, имеримое E \in \mathbbR^n — основание. Тогда он измерим и \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E. Доказательство: схема — от простого к сложному, применяется критерий \mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания). 1) Пусть E — параллелепипед (ячейка), то G тоже ячейка, формула выполняется. 2) Пусть E — открытое множество. Его можно записать в форме E = \bigcup\limits_n \Delta_n — дизъюнктно G_n = \Delta_n \times [a, c] G - E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n — дизъюнктны. G_n — измеримы, следоватлеьно, G — измеримо. По сигма-аддитивности меры \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E 3) E — ограниченное замкнутое множество. E \in \Delta — открытый параллелепипед. \overline E = \Delta \setminus E — открыто — можно применить пункт 2: \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E \lambda_{n+1} [\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta_m E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E 4) E — ограничено и измеримости \forall \varepsilon > 0, по свойствам меры Лебега. Пусть F_\varepsilon — замкнутое, G_\varepsilon — открытое: F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon. F_\varepsilon \times [a, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c]. \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon \varepsilon — мало, следоватлеьно, по критерию \mu^*-измеримости, G — измеримо. По монотонности меры: c \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_{n+1} G \le c \lambda_n G_\varepsilon \lambda_n F_\varepsilon \le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon (\varepsilon мало, это единственное число, которое можно вставить) c: c \lambda_n F_\varepsilon \le c \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon \rightarrow \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E. 5) E — измеримое множество. Мера Лебега — сигма-конечна. E можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, мера E = пределу мер. Так же запишется цилиндр G, он окажется измеримым, переходим к переделу, победа. Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему. |
