Методы генерации случайного сочетания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Решение за время O(nk))
м (Оценка временной сложности)
 
(не показано 13 промежуточных версий 2 участников)
Строка 6: Строка 6:
 
==Наивное решение==
 
==Наивное решение==
  
Пусть <tex>S</tex>  —  массив из <tex>n</tex> элементов, тогда для генерации случайного сочетания сделаем следующее:
+
Пусть <tex>S</tex>  —  множество из <tex>n</tex> элементов, тогда для генерации случайного сочетания сделаем следующее:
 
* '''Шаг 1.''' Запишем в массив <tex>C</tex> числа от <tex>1</tex> до <tex>k</tex>,
 
* '''Шаг 1.''' Запишем в массив <tex>C</tex> числа от <tex>1</tex> до <tex>k</tex>,
 
* '''Шаг 2.''' Выберем случайный номер сочетания <tex>r</tex>,
 
* '''Шаг 2.''' Выберем случайный номер сочетания <tex>r</tex>,
 
* '''Шаг 3.''' Применим алгоритм [[Получение следующего объекта|получение следующего сочетания]] <tex>r - 1</tex> раз к массиву <tex>C</tex>,
 
* '''Шаг 3.''' Применим алгоритм [[Получение следующего объекта|получение следующего сочетания]] <tex>r - 1</tex> раз к массиву <tex>C</tex>,
 
* '''Шаг 4.''' В <tex>C</tex> хранятся номера позиции из <tex>S</tex> входящих в случайное сочетание, запишем в <tex>C</tex> эти элементы.
 
* '''Шаг 4.''' В <tex>C</tex> хранятся номера позиции из <tex>S</tex> входящих в случайное сочетание, запишем в <tex>C</tex> эти элементы.
 
 
===Псевдокод===
 
===Псевдокод===
 
+
*<tex>\mathtt{arrayOfElements}</tex> — массив, в котором находятся все элементы множества <tex>\mathtt{S}</tex>.
 
<code>
 
<code>
   '''int[]''' randomCombination('''int[]''' S, '''int''' n, '''int''' k):
+
   '''int[]''' randomCombination('''int[]''' arrayOfElements, '''int''' n, '''int''' k):
 
     '''for''' i = 1 '''to''' k  
 
     '''for''' i = 1 '''to''' k  
 
       C[i] = i
 
       C[i] = i
     r = random(1, n! / (k!(n - k)!))    <font color=darkgreen> //random(1, i) генерирует случайное число в интервале [1;\; i]</font color=darkgreen>
+
     r = random(1, n! / (k!(n - k)!))    <font color=darkgreen> //random(1, i) генерирует случайное целое число в интервале [1..i]</font color=darkgreen>
 
     '''for''' i = 1 '''to''' r - 1
 
     '''for''' i = 1 '''to''' r - 1
 
       nextCombination(C, n, k)          <font color=darkgreen> //nextCombination(C, n, k) генерирует следующие сочетание</font color=darkgreen>
 
       nextCombination(C, n, k)          <font color=darkgreen> //nextCombination(C, n, k) генерирует следующие сочетание</font color=darkgreen>
 
     '''for''' i = 1 '''to''' k
 
     '''for''' i = 1 '''to''' k
       C[i] = S[C[i]]
+
       C[i] = arrayOfElements[C[i]]
 
     '''return''' C
 
     '''return''' C
 
</code>
 
</code>
  
Сложность алгоритма — <tex>O(nr)</tex>.
+
Сложность алгоритма — <tex dpi="150">O({n! \over k!(n - k)!} \cdot n)</tex>.
  
 
==Решение за время <tex>O(nk)</tex>==
 
==Решение за время <tex>O(nk)</tex>==
Строка 36: Строка 35:
  
 
Эту процедуру необходимо повторить <tex>k</tex> раз.
 
Эту процедуру необходимо повторить <tex>k</tex> раз.
 
+
===Псевдокод===
 
 
 
*<tex>\mathtt{arrayOfElements}</tex> — массив, в котором находятся все элементы множества <tex>\mathtt{S}</tex>,
 
*<tex>\mathtt{arrayOfElements}</tex> — массив, в котором находятся все элементы множества <tex>\mathtt{S}</tex>,
 
*<tex>\mathtt{exist}</tex> — такой массив, что если <tex>\mathtt{exist[i] == 1}</tex>, то <tex>\mathtt{i}</tex> элемент присутствует в множестве <tex>\mathtt{S}</tex>,
 
*<tex>\mathtt{exist}</tex> — такой массив, что если <tex>\mathtt{exist[i] == 1}</tex>, то <tex>\mathtt{i}</tex> элемент присутствует в множестве <tex>\mathtt{S}</tex>,
 
===Псевдокод===
 
 
<code>
 
<code>
 
  '''int[]''' randomCombination('''int[]''' arrayOfElements, '''int''' n, '''int''' k):
 
  '''int[]''' randomCombination('''int[]''' arrayOfElements, '''int''' n, '''int''' k):
 
   '''for''' i = 1 '''to''' k  
 
   '''for''' i = 1 '''to''' k  
     r = random(1, (n - i + 1))                <font color=darkgreen> //random(1, i) генерирует случайное число в интервале [1;\; i]</font color=darkgreen>
+
     r = random(1, (n - i + 1))                 
 
     cur = 0
 
     cur = 0
 
     '''for''' j = 1 '''to''' n  
 
     '''for''' j = 1 '''to''' n  
 
       '''if''' exist[j]
 
       '''if''' exist[j]
         cur = cur + 1;
+
         cur = cur + 1
 
         '''if''' cur == r
 
         '''if''' cur == r
 
           res[i] = arrayOfElements[j]
 
           res[i] = arrayOfElements[j]
Строка 58: Строка 54:
  
 
===Доказательство корректности алгоритма===
 
===Доказательство корректности алгоритма===
На первом шаге мы выбираем один элемент из <tex>n</tex>, на втором из <tex>n - 1</tex>, ..., на <tex>k</tex>-ом из <tex>n - k + 1</tex>. Тогда общее число исходов получится <tex>n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)</tex>. Это эквивалентно <tex dpi="180">{n! \over (n - k)!}</tex>. Однако заметим, что на этом шаге у нас получаются лишь размещения из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>. Но все эти размещения можно сопоставить одному сочетанию, отсортировав их. И так как размещения равновероятны, и каждому сочетанию сопоставлено ровно <tex>k!</tex> размещений, то сочетания тоже генерируются равновероятно.
+
На первом шаге мы выбираем один элемент из <tex>n</tex>, на втором из <tex>n - 1</tex> <tex>\dots</tex>  на <tex>k</tex>-ом из <tex>n - k + 1</tex>. Тогда общее число исходов получится <tex>n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)</tex>. Это эквивалентно <tex dpi="180">{n! \over (n - k)!}</tex>. Однако заметим, что на этом шаге у нас получаются лишь размещения из <tex>n</tex> по <tex>k</tex>. Но все эти размещения можно сопоставить одному сочетанию, отсортировав их. И так как размещения равновероятны, и каждому сочетанию сопоставлено ровно <tex>k!</tex> размещений, то сочетания тоже генерируются равновероятно.
  
 
==Решение за время <tex>O(n)</tex>==
 
==Решение за время <tex>O(n)</tex>==
  
 
Для более быстрого решения данной задачи воспользуемся следующим алгоритмом: пусть задан для определенности массив <tex>a</tex> размера <tex>n</tex>, состоящий из <tex>k</tex> единиц и <tex>n - k</tex> нулей. Применим к нему [[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса|алгоритм генерации случайной перестановки]]. Тогда все элементы <tex>i</tex>, для которых <tex>a[i] = 1</tex>, включим в сочетание.
 
Для более быстрого решения данной задачи воспользуемся следующим алгоритмом: пусть задан для определенности массив <tex>a</tex> размера <tex>n</tex>, состоящий из <tex>k</tex> единиц и <tex>n - k</tex> нулей. Применим к нему [[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса|алгоритм генерации случайной перестановки]]. Тогда все элементы <tex>i</tex>, для которых <tex>a[i] = 1</tex>, включим в сочетание.
 
+
===Псевдокод===
 
*<tex>\mathtt{arrayOfElements}</tex> — массив, в котором находятся все элементы множества <tex>\mathtt{S}</tex>,
 
*<tex>\mathtt{arrayOfElements}</tex> — массив, в котором находятся все элементы множества <tex>\mathtt{S}</tex>,
 
*<tex>\mathtt{randomShuffle()}</tex> — функция генерации случайной перестановки.
 
*<tex>\mathtt{randomShuffle()}</tex> — функция генерации случайной перестановки.
 
===Псевдокод===
 
 
 
<code>
 
<code>
 
   '''int[]''' randomCombination('''int[]''' arrayOfElements, '''int''' n, '''int''' k):
 
   '''int[]''' randomCombination('''int[]''' arrayOfElements, '''int''' n, '''int''' k):
Строка 88: Строка 81:
 
===Оценка временной сложности===
 
===Оценка временной сложности===
  
Алгоритм состоит из 2 невложенных циклов по <tex>n</tex> итераций каждый и функции генерации случайной перестановки <tex>\mathrm{randomShuffle()}</tex>, работающей за <tex>O(n)</tex> по алгоритму [[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса|Фишера—Йетcа]]. Следовательно, сложность и всего алгоритма <tex>O(n)</tex>
+
Алгоритм состоит из двух невложенных циклов по <tex>n</tex> итераций каждый и функции генерации случайной перестановки <tex>\mathrm{randomShuffle()}</tex>, работающей за <tex>O(n)</tex> по алгоритму [[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса|Фишера—Йетcа]]. Следовательно, сложность и всего алгоритма <tex>O(n)</tex>
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 20:48, 16 декабря 2014

Задача:
Необходимо сгенерировать случайное сочетание из [math] n [/math] элементов по [math] k [/math] с равномерным распределением вероятности, если есть в наличии функция для генерации случайного числа в заданном интервале.


Наивное решение[править]

Пусть [math]S[/math] — множество из [math]n[/math] элементов, тогда для генерации случайного сочетания сделаем следующее:

  • Шаг 1. Запишем в массив [math]C[/math] числа от [math]1[/math] до [math]k[/math],
  • Шаг 2. Выберем случайный номер сочетания [math]r[/math],
  • Шаг 3. Применим алгоритм получение следующего сочетания [math]r - 1[/math] раз к массиву [math]C[/math],
  • Шаг 4. В [math]C[/math] хранятся номера позиции из [math]S[/math] входящих в случайное сочетание, запишем в [math]C[/math] эти элементы.

Псевдокод[править]

  • [math]\mathtt{arrayOfElements}[/math] — массив, в котором находятся все элементы множества [math]\mathtt{S}[/math].

 int[] randomCombination(int[] arrayOfElements, int n, int k):
   for i = 1 to k 
     C[i] = i
   r = random(1, n! / (k!(n - k)!))      //random(1, i) генерирует случайное целое число в интервале [1..i]
   for i = 1 to r - 1
     nextCombination(C, n, k)            //nextCombination(C, n, k) генерирует следующие сочетание
   for i = 1 to k
     C[i] = arrayOfElements[C[i]]
   return C

Сложность алгоритма — [math]O({n! \over k!(n - k)!} \cdot n)[/math].

Решение за время [math]O(nk)[/math][править]

Пусть [math]S[/math] — множество из [math]n[/math] элементов, тогда для генерации случайного сочетания сделаем следующее:

  • Шаг 1. Выберем в множестве случайный элемент,
  • Шаг 2. Добавим его в сочетание,
  • Шаг 3. Удалим элемент из множества.

Эту процедуру необходимо повторить [math]k[/math] раз.

Псевдокод[править]

  • [math]\mathtt{arrayOfElements}[/math] — массив, в котором находятся все элементы множества [math]\mathtt{S}[/math],
  • [math]\mathtt{exist}[/math] — такой массив, что если [math]\mathtt{exist[i] == 1}[/math], то [math]\mathtt{i}[/math] элемент присутствует в множестве [math]\mathtt{S}[/math],

int[] randomCombination(int[] arrayOfElements, int n, int k):
  for i = 1 to k 
    r = random(1, (n - i + 1))                
    cur = 0
    for j = 1 to n 
      if exist[j]
        cur = cur + 1
        if cur == r
          res[i] = arrayOfElements[j]
          exist[j] = false
  sort(res)
  return res

Доказательство корректности алгоритма[править]

На первом шаге мы выбираем один элемент из [math]n[/math], на втором из [math]n - 1[/math] [math]\dots[/math] на [math]k[/math]-ом из [math]n - k + 1[/math]. Тогда общее число исходов получится [math]n \times (n - 1) \times \dots \times (n - k + 1)[/math]. Это эквивалентно [math]{n! \over (n - k)!}[/math]. Однако заметим, что на этом шаге у нас получаются лишь размещения из [math]n[/math] по [math]k[/math]. Но все эти размещения можно сопоставить одному сочетанию, отсортировав их. И так как размещения равновероятны, и каждому сочетанию сопоставлено ровно [math]k![/math] размещений, то сочетания тоже генерируются равновероятно.

Решение за время [math]O(n)[/math][править]

Для более быстрого решения данной задачи воспользуемся следующим алгоритмом: пусть задан для определенности массив [math]a[/math] размера [math]n[/math], состоящий из [math]k[/math] единиц и [math]n - k[/math] нулей. Применим к нему алгоритм генерации случайной перестановки. Тогда все элементы [math]i[/math], для которых [math]a[i] = 1[/math], включим в сочетание.

Псевдокод[править]

  • [math]\mathtt{arrayOfElements}[/math] — массив, в котором находятся все элементы множества [math]\mathtt{S}[/math],
  • [math]\mathtt{randomShuffle()}[/math] — функция генерации случайной перестановки.

 int[] randomCombination(int[] arrayOfElements, int n, int k):
   for i = 1 to n 
     if i <= k
       a[i] = 1
     else
       a[i] = 0
   randomShuffle(a)                        //randomShuffle() — функция генерации случайной перестановки
   for i = 1 to n
     if a[i] == 1
       ans.push(arrayOfElement[i])
   return ans

Доказательство корректности алгоритма[править]

Заметим, что всего перестановок [math]n![/math], но так как наш массив состоит только из [math]0[/math] и [math]1[/math], то перестановка только [math]0[/math] или только [math]1[/math] ничего в нем не меняет. Заметим, что число перестановок нулей равно [math](n - k)![/math], единиц — [math]k![/math]. Следовательно, всего уникальных перестановок — [math]{n! \over k!(n - k)!}[/math]. Все они равновероятны, так как была сгенерирована случайная перестановка, а каждой уникальной перестановке сопоставлено ровно [math]k!(n - k)![/math] перестановок. Но [math]{n! \over k!(n - k)!}[/math] — число сочетаний из [math]n[/math] по [math]k[/math]. То есть каждому сочетанию сопоставляется одна уникальная перестановка. Следовательно, генерация сочетания происходит также равновероятно.

Оценка временной сложности[править]

Алгоритм состоит из двух невложенных циклов по [math]n[/math] итераций каждый и функции генерации случайной перестановки [math]\mathrm{randomShuffle()}[/math], работающей за [math]O(n)[/math] по алгоритму Фишера—Йетcа. Следовательно, сложность и всего алгоритма [math]O(n)[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]