Изменения

|definition = Необходимо сгенерировать случайный [[Комбинаторные объекты|комбинаторный объект ]] размера <tex> n </tex> с равномерным распределением вероятности, если в наличии есть функция для генерации случайного числа в заданном интервале.

Будем получать элементы по порядку: сначала определим, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы построили префикс длинны <tex> i </tex> : <tex> P = \{a_1, a_2, \ldots, a_i\} </tex>. Будем выбирать элемент <tex> a_{i+1} </tex> из множества всех возможных так, чтобы вероятность выбора элемнта <tex> b \in B </tex>, была пропорциональна числу комбинторных обьектов размера <tex> n </tex> с префиксом <tex> P + b </tex>. Для этого разобъем отрезок натуральных чисел <tex> [1, s] </tex>. где <tex> s </tex> {{---}} число различных комбинаторных объектов с текущим префиксом, на <tex> k </tex> диапазонов так, чтобы размер диапазаона <tex> d_j </tex> был равен числу объектов с префиксом <tex> P + b_j </tex>. С помощью функции для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в интервале <tex> [1, s] </tex> и добавим к префиксу <tex> P </tex> элемент <tex> b_j </tex> соответствующий диапазону отрезка в которм котором находится полученное число.

=== Дооказательство Доказательство корректности =={{Лемма|statement=Докажем по индукции, что вероятность Вероятность получить любой перфикс в процессе работы алгоритма некоторый префикс <tex> P </tex> равна <tex dpi = "120"> \dfrac{S(P)\over}{C(n)} </tex>, где <tex> C(n) </tex> {{---}} число различных комбинаторных объектов данного типа длины <tex> n </tex>, а <tex> S(P) </tex> {{---}} число различных комбинаторных обьектов длины <tex> n </tex> с таким префиксом.*Любой |proof=Докажем по [[Математическая индукция|индукции]]: '''База:''' Заметим, что любой комбинаторный объект имеет пустой перфикспрефикс (<tex> \varnothing </tex>), следовательно <tex> S(\varnothing)=C(n) </tex>. Вероятность получить любой некоторый префикс <tex> P </tex> длины <tex> 1 </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)\over}{S(\varnothing)} </tex>, что равно <tex> \dfrac{S(P)\over}{C(n)} </tex>.*'''Переход:''' Пусть вероятность получить префикс <tex> P </tex> длины <tex> l </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)\over}{C(n)} </tex>*. Вероятность получить из <tex> P </tex> любой некоторый префикс <tex> P' </tex> длины <tex> l+1 </tex> равна <tex> \dfrac{S(P')\over}{S(P)} </tex> , следовательно вероятность получить префикс <tex> P' </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)\over}{C(n)} </tex><tex>\cdot</tex><tex> \dfrac{S(P')\over}{S(P)} </tex> что равно <tex> \dfrac{S(P')\over}{C(n)} </tex>.Результат работы алгоритма является префиксом <tex> P </tex> размера <tex> n </tex> и для любого такого префикса существует только один комбинаторный объект размера размера <tex> n </tex> , следовательно вероятность получения одинакова для всех различных результатов и равна <tex> 1\over{C(n)} </tex>.}

|idstatement=идентификатор (необязательно)Результатом работы данного алгоритма является случайный комбинаторный объект размера <tex> n </tex>, пример: proposal1причем вероятность получения одинакова для каждого результата. |author=Автор утверждения (необязательно)|about=О чем утверждение (необязательно)|statement=утверждение|proof=доказательство Заметим, что результатом работы данного алгоритма является любой из возможных префиксов размера <tex> n </tex>. Любой такой префикс является комбинаторным объектом размера <tex> n </tex> и наоборот, следовательно число объектов с таким префиксом равно <tex> 1 </tex>. Из чего по доказанной лемме следует, что вероятность получения одинакова для всех различных результатов и равна <tex> \dfrac{1}{C(необязательноn)} </tex>.

Рассмотрим алгоритм получения случайного [[Комбинаторные объекты#Битовые вектора|битового вектора]]. В битовом векторе может находиться только два типа элементов: <tex> 0 </tex> и <tex> 1 </tex>, следовательно <tex> k = 2 </tex>. Заметим что для любого префикса длины <tex> l </tex> число возможных комбинаторных объектов длины <tex> n </tex> одинаково и равно <tex> 2^{n-l} </tex>, следовательно на каждом шаге алгоритма небходмо выбирать с равной вероятностью <tex> 0 </tex> или <tex> 1 </tex>

Рассмотрим алгоритм получения случайной [[Правильные скобочные последовательности|правильной скобочной последовательности]]. Правильная скобочная пследовательность последовательность состоит из двух типов элементов: открывающей и закрывающей скобок, следовательно <tex> k = 2 </tex>. {{ОпределениеРассмотрим "полуправильные" скобочные последовательности т|definition='''Полуправильная скобочная последовательность''' (англ.е. такие ''Semi-correct bracket sequence'') {{---}} скобочная последовательность такая, что всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки могут быть закрыты.}}Рассмотрим полуправильные скобочные последовательности. Такую последовтеьность можно охарактеризовать двумя числами: <tex> l </tex> — длина скобочной последовательности и <tex> b </tex> — баланс (т.е. {{---}} разность между количеством открывающих и закрывающих скобок). Заметим что любой префикс правильной скобочной последовательности является "полупраильной" полуправильной скобочной последовательностью, и что для любого префикса <tex> P </tex> длины <tex> l </tex> число различных правильных скобочных последовательностей длины <tex> n </tex> равно числу "полуправильных" скобочных последовательностей длины <tex> n-l </tex> с таким же балансом как у <tex> P </tex>.

Научимся считать <tex> D[l][b] </tex> {{---}} число последовательностей длины <tex> l </tex> и баланса <tex> b </tex>). Если <tex> l = 0 </tex>, то ответ понятен сразу: <tex> D[0][0] = 1 </tex>, все остальные <tex> D[0][b] = 0 </tex>. Пусть теперь <tex> l > 0 </tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex> '(' </tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex> (l-1,b-1) </tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(l-1,b+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу:

(считается, что все значения <tex> D[l][b] </tex> при отрицательном <tex>jb</tex> равны нулю). Этот преподсчет можно выполнить за <tex>O(n^2)</tex>.

Будем строить префикс следующим образом: на каждом шаге интервал случайных чисел <tex> [0, s] </tex> (где <tex> s = D[n - l][b] </tex>) , будет разбиваться на два диапазона размерами <tex> D[n - l - 1][b + 1] </tex> и <tex> D[n - l - 1][b - 1] </tex> , и к префиксу будет прибавляться <tex>'('</tex> или <tex>')'</tex> если случайное число попало в первый или второй диапазон соответственно.

'''if''' D[n - l - 1][b + 1] <tex> \geqslant </tex>= r

Итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) + </tex>. Преподсчет <tex> D </tex> можно выполнить динамически за <tex> O(n^2) </tex> на преподсчет.

Рассмотрим множество первых <tex> n </tex> натуральных чисел: <tex> N_n = \{1, 2, \ldots, n\} </tex>. Необходимо разбить построить его [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества|разбиение на <tex> k </tex> непустых подмножеств ]] <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> с равным распределением вероятности.

Будем строить разбиение таким образом, чтобы в результате подмножества <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> оказались отсортированы в лексикографическом порядке (т.е. чтобы для любых <tex>i, j \mid 1 \leqslant i < j \leqslant k </tex> наименьший элемент <tex> B_i </tex> был меньше наименьшего элемента <tex> B_j </tex>). Для этого будем по очереди добавлять каждое число от <tex> n </tex> до <tex> 1 </tex> в одно из подмножеств и для каждого из подмножеств начиная с <tex> B_n </tex> и заканчивая <tex> B_1 </tex> будем выбирать какой элемент будет добавлен в него последним(т.е. будет минимальным).

На каждом шаге префиксом считаем текущее разбиение. Оно характеризуется двумя значениями: <tex> l </tex> — число добавленных элементов и <tex> m </tex> — число подмножеств для которых определен последний элемент. Заметим, что количество разбиений на подмножества с заднным заданным префиксом равно числу способов разбить еще не добавленные элементы на еще не законченные подмножества так, чтобы они оказались лексикографически упорядочены, то есть равно числу разбиений <tex> n-l </tex> элементов на <tex> k-m </tex> непустых подмножеств, что равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l\atop }{k-m}\rbrace</tex> (т.е [[Числа Стирлинга второго рода|числу Стирлинга второго рода]]). Таким образом из префикса <tex> P </tex> мы можем получить следующий префикс <tex> P' </tex> двумя способами: *Добавить текущий элемент (<tex> n-l </tex>) в одно из <tex> k-m </tex> незаконченных подмножеств. В таком случае число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m}\rbrace</tex> .*Сделать текущий элемент последним в подмножестве <tex> B_{k-m} </tex> . В таком случае это подмножество станет законченым, следовательно число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m-1}\rbrace</tex>.Таким образом на каждом шаге интервал случайных чисел <tex> [0, s] </tex> (где <tex> s = </tex><tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l\atop }{k-m}\rbrace</tex>) , будет разбиваться на два диапазона размерами <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m-1}\rbrace</tex> и <tex> (k-m)\cdot </tex><tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1\atop }{k-m}\rbrace</tex>. Если случайно сгенерированное число попадет в первый диапазон, то сделаем <tex> n-l </tex> последним элементом в подмножестве <tex> B_{k-m} </tex> . Иначе добавим <tex> n-l </tex> в случайно выбранное из незаконченных подмножеств (<tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_{k-m}\} </tex>).

'''if''' stirling(n - l - 1, k - m - 1) <tex> \geqslant </tex>= r

Так как на каждом шаге интервал случайных чисел разделяется только на на два диапазона, а всего шагов {{---}} <tex> n </tex> то итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) + </tex> . Сложность преподсчета чисел Стирлинга второго рода {{---}} <tex> O(n^2) </tex> на преподсчет чисел Стирлинга второго рода (если преподсчитать их [[Динамическое программирование | динамически)]].

Описаный алгоритм можно применить для получения разбиения множества на случайное число подмножеств. Для этого достаточно случайным образом выбрать число подмножеств из интевала <tex> [1, n] </tex> , так чтобы вероятность получить число <tex> k </tex> была пропорциональна числу способов разбить <tex> n </tex> элементов на <tex> k </tex> подмножеств (что равно <tex dpi = "180">\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n\atop }{k}\rbrace</tex>).

Разделим интервал случайных чисел <tex> [1, s] </tex> (где <tex> s = </tex> <tex dpi = "180"> \sum\limits_{i=1}^{n}{\leftgenfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n\atop }{i}\right\}</tex>) на <tex> n </tex> диапазонов, так чтобы размер диапазона <tex> d_i </tex> был равен <tex dpi = "180"> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n\atop }{i}\rbrace </tex>. С помощью функции для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в интервале <tex> [1, s] </tex> и выберем количество подмножеств . Возьмем <tex> k </tex> соответствующее диапазону отрезка в которм находится полученное число и по выбранному такое, что <tex> k r \in d_k </tex> получим и построим случайное разбиение множества размера из <tex> n </tex> элементов на <tex> k </tex> подмножеств.

*Комбинаторные алгоритмы: учебное пособие / Т. И. Федоряева. {{- --}} Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2011. 118 с. {{--- }} ISBN 978-5-4437-0019-9*Non-Uniform Random Variate Generation / Luc Devroye. {{--- }} Springer, New York, NY, 1986. 843 c. {{--- }} ISBN 978-1-4613-8645-2