Изменения

Пусть <tex> B = \{b_1, b_2 \ldots, b_k\} </tex> {{---}} множество различных элементов, которые могут находиться в данном комбинаторном объекте. Будем получать элементы по порядку: сначала определим, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее. Считаем, что мы построили префикс длинны <tex> i </tex> : <tex> P = \{a_1, a_2, \ldots, a_i\} </tex>. Будем выбирать элемент <tex> a_{i+1} </tex> из множества всех возможных так, чтобы вероятность выбора элемнта <tex> b \in B </tex>, была пропорциональна числу комбинторных обьектов размера <tex> n </tex> с префиксом <tex> P + b </tex>. Для этого разобъем отрезок натуральных чисел <tex> [1, s] </tex>. где <tex> s </tex> {{Задача---}} число различных комбинаторных объектов с текущим префиксом, на <tex> k </tex> диапазонов так, чтобы размер диапазаона <tex> d_j </tex> был равен числу объектов с префиксом <tex> P + b_j </tex>. С помощью функции для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в интервале <tex> [1, s] </tex> и добавим к префиксу <tex> P </tex> элемент <tex> b_j </tex> соответствующий диапазону отрезка в котором находится полученное число.  '''object''' randomObject(n: '''int''', k: '''int'''): <font color = green> // <tex> n </tex> {{---}} размер комбинторного объекта, <tex> k </tex> {{---}} число различных элемнтов.</font> '''for''' i = 1 '''to''' n s = number(prefix) <font color = green> // число комбинаторных объектов с текущим префиксом. </font> r = random(1, s) '''for''' j = 1 '''to''' k '''if''' number(prefix + B[j]) < r <font color = green> // <tex> B </tex> {{---}} множество всех возможных элементов. </font> r = r - number(prefix + B[j]) <font color = green> // если <tex> r </tex> не попало в текщий диапазон {{---}} перейдем к следующему.</font> '''else''' prefix[i] = b[j] break '''return''' prefix Сложность алгоритма {{---}} <tex>O(nk) </tex>. Количества комбинаторных объектов с заданными префиксами считаются известными, и их подсчет в сложности не учитывается. Стоит отметить, что подсчет количества комбинаторных объектов с заданным префиксом зачастую является задачей с достаточно большой вычислительной сложностью. == Доказательство корректности =={{Лемма|definition statement=Вероятность получить в процессе работы алгоритма некоторый префикс <tex> P </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)}{C(n)} </tex>, где <tex> C(n) </tex> {{---}} число различных комбинаторных объектов данного типа длины <tex> n </tex>, а <tex> S(P) </tex> {{---}} число различных комбинаторных обьектов длины <tex> n </tex> с таким префиксом.|proof=Докажем по [[Математическая индукция|индукции]]: '''База:''' Заметим, что любой комбинаторный объект имеет пустой префикс (<tex> \varnothing </tex>), следовательно <tex> S(\varnothing)=C(n) </tex>.Вероятность получить некоторый префикс <tex> P </tex> длины <tex> 1 </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)}{S(\varnothing)} </tex>, что равно <tex> \dfrac{S(P)}{C(n)} </tex> . '''Переход:''' Пусть вероятность получить префикс <tex> P </tex> длины <tex> l </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)}{C(n)} </tex>. Вероятность получить из <tex> P </tex> некоторый префикс <tex> P' </tex> длины <tex> l+1 </tex> равна <tex> \dfrac{S(P')}{S(P)} </tex> , следовательно вероятность получить префикс <tex> P' </tex> равна <tex> \dfrac{S(P)}{C(n)} </tex><tex>\cdot</tex><tex> \dfrac{S(P')}{S(P)} </tex> что равно <tex> \dfrac{S(P')}{C(n)} </tex>.}} {{Утверждение|statement= Необходимо сгенерировать Результатом работы данного алгоритма является случайный комбинаторный объект размера <tex> n </tex> , причем вероятность получения одинакова для каждого результата.|proof=Заметим, что результатом работы данного алгоритма является любой из возможных префиксов размера <tex> n </tex>. Любой такой префикс является комбинаторным объектом размера <tex> n </tex> и наоборот, следовательно число объектов с равномерным распределением вероятноститаким префиксом равно <tex> 1 </tex>. Из чего по доказанной лемме следует, если в наличии есть функция что вероятность получения одинакова для всех различных результатов и равна <tex> \dfrac{1}{C(n)} </tex>.}} == Примеры решения задач ==Рассмотрим примеры использования данного алгоритма для генерации различных типов комбинаторных объектов. === Битовые вектора ===Рассмотрим алгоритм получения случайного числа [[Комбинаторные объекты#Битовые вектора|битового вектора]]. В битовом векторе может находиться только два типа элементов: <tex> 0 </tex> и <tex> 1 </tex>, следовательно <tex> k = 2 </tex>. Заметим что для любого префикса длины <tex> l </tex> число возможных комбинаторных объектов длины <tex> n </tex> одинаково и равно <tex> 2^{n-l} </tex>, следовательно на каждом шаге алгоритма небходмо выбирать с равной вероятностью <tex> 0 </tex> или <tex> 1 </tex>  '''vector<int>''' randomBitVector(n: '''int'''): <font color = green> // <tex> n </tex> {{---}} размер битового вектора.</font> '''for''' i = 1 '''to''' n r = random(0, 1) v[i] = r '''return''' prefix Сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) </tex>, так как в заданном интервалеслучае двоичных векторов <tex> k </tex> постоянно и равно <tex> 2 </tex>. === Правильные скобочные последовательности ===Рассмотрим алгоритм получения случайной [[Правильные скобочные последовательности|правильной скобочной последовательности]]. Правильная скобочная последовательность состоит из двух типов элементов: открывающей и закрывающей скобок, следовательно <tex> k = 2 </tex>. {{Определение|definition='''Полуправильная скобочная последовательность''' (англ. ''Semi-correct bracket sequence'') {{---}} скобочная последовательность такая, что всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки могут быть закрыты.

Рассмотрим полуправильные скобочные последовательности. Такую последовтеьность можно охарактеризовать двумя числами: <tex> l </tex> — длина скобочной последовательности и <tex> b </tex> — баланс {{---}} разность между количеством открывающих и закрывающих скобок. Заметим что любой префикс правильной скобочной последовательности является полуправильной скобочной последовательностью, и что для любого префикса <tex> P </tex> длины <tex> l </tex> число различных правильных скобочных последовательностей длины <tex> n </tex> равно числу полуправильных скобочных последовательностей длины <tex> n-l </tex> с таким же балансом как у <tex> P </tex>. Научимся считать <tex> D[l][b] </tex> {{---}} число последовательностей длины <tex> l </tex> и баланса <tex> b </tex>. Если <tex> l = 0 </tex>, то ответ понятен сразу: <tex> D[0][0] = 1 </tex>, все остальные <tex> D[0][b] = 0 </tex>. Пусть теперь <tex> l > 0 </tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex> '(' </tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex> B (l-1,b-1) </tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(l-1,b+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу: <tex>D[l][b] = D[l-1][b-1] + D[l-1][b+1]</tex> (считается, что все значения <tex> D[l][b] </tex> при отрицательном <tex>b</tex> равны нулю). Будем строить префикс следующим образом: на каждом шаге интервал случайных чисел <tex> [0, s] </tex> (где <tex> s = D[n-l][b] </tex>) , будет разбиваться на два диапазона размерами <tex> D[n-l-1][b+1] </tex> и <tex> D[n-l-1][b-1] </tex> , и к префиксу будет прибавляться <tex>'('</tex> или <tex>')'</tex> если случайное число попало в первый или второй диапазон соответственно.  '''string''' randomBracketSequence(n: '''int'''): <font color = green> // <tex> n </tex> {{---}} длина скобочной последовательности. </font> b = 0 l = 0 '''for''' i = 1 '''to''' n s = D[n - l][b] r = random(1, s) '''if''' D[n - l - 1][b + 1] <tex> \geqslant </tex> r l = l + 1 b = b + 1 result = result + '(' '''else''' l = l + 1 b = b - 1 result = result + ')' '''return''' result Итоговая сложность алгоритма {b_1{---}} <tex> O(n) </tex>. Преподсчет <tex> D </tex> можно выполнить динамически за <tex> O(n^2) </tex>. === Разбиения на множества ======= Разбиение на <tex> k </tex> подмножеств ====Рассмотрим множество первых <tex> n </tex> натуральных чисел: <tex> N_n = \{1, 2, b_2 \ldots, n\} </tex>. Необходимо построить его [[Комбинаторные объекты#Разбиение на подмножества|разбиение на <tex> k </tex> непустых подмножеств]] <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> с равным распределением вероятности. Будем строить разбиение таким образом, чтобы в результате подмножества <tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_k\} </tex> оказались отсортированы в лексикографическом порядке (т.е. чтобы для любых <tex>i, j \mid 1 \leqslant i < j \leqslant k </tex> наименьший элемент <tex> B_i </tex> был меньше наименьшего элемента <tex> B_j </tex>). Для этого будем по очереди добавлять каждое число от <tex> n </tex> до <tex> 1 </tex> в одно из подмножеств и для каждого из подмножеств начиная с <tex> B_n </tex> и заканчивая <tex> B_1 </tex> будем выбирать какой элемент будет добавлен в него последним(т.е.будет минимальным). На каждом шаге префиксом считаем текущее разбиение. Оно характеризуется двумя значениями: <tex> l </tex> — число добавленных элементов и <tex> m </tex> — число подмножеств для которых определен последний элемент. Заметим, что количество разбиений на подмножества с заданным префиксом равно числу способов разбить еще не добавленные элементы на еще не законченные подмножества так, чтобы они оказались лексикографически упорядочены, то есть равно числу разбиений <tex> n-l </tex> элементов на <tex> k-m </tex> непустых подмножеств, b_kчто равно <tex> \genfrac{\lbrace} {\rbrace}{0pt}{0}{n-l}{k-m} </tex> ([[Числа Стирлинга второго рода|числу Стирлинга второго рода]]). Таким образом из префикса <tex> P </tex> мы можем получить следующий префикс <tex> P' </tex> двумя способами: *Добавить текущий элемент (<tex> n-l </tex>) в одно из <tex> k-m </tex> незаконченных подмножеств. В таком случае число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n- l-1}{k-m} </tex> .*Сделать текущий элемент последним в подмножестве <tex> B_{k-m} </tex> . В таком случае это подмножество станет законченым, следовательно число обьектов с префиксом <tex> P' </tex> будет равно <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1}{k-m-1} </tex>.Таким образом на каждом шаге интервал случайных чисел <tex> [0, s] </tex> (где <tex> s = </tex><tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l}{k-m} </tex>) , будет разбиваться на два диапазона размерами <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1}{k-m-1} </tex> и <tex> (k-m)\cdot\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n-l-1}{k-m} </tex>. Если случайно сгенерированное число попадет в первый диапазон, то сделаем <tex> n-l </tex> последним элементом в подмножестве <tex> B_{k-m} </tex> . Иначе добавим <tex> n-l </tex> в случайно выбранное из незаконченных подмножеств (<tex> \{B_1, B_2, \ldots, B_{k-m}\} </tex>).  '''int[]''' randomSetPartition(n: '''int''' k: '''int'''): <font color = green> // <tex> n </tex> {{---}} количество элементов в множестве, <tex> k </tex> {{---}} число подмножеств на которые нужно разбить исходное множество различных . </font> l = 0 m = 0 '''downto''' i = n '''to''' 1 s = stirling(n - l, k - m) <font color = green> // <tex> stirling(a, b) </tex> {{---}} функция возвращающая число Стирлинга второго рода для заданных аргументов. </font> r = random(1, s) '''if''' stirling(n - l - 1, k - m - 1) <tex> \geqslant </tex> r result[i] = k - m <font color = green> // <tex> result[i] </tex> {{---}} номер подмножества в котором находится элемент <tex> i </tex>. </font> l = l + 1 m = m + 1 '''else''' p = random(1, k - m) <font color = green> // Случайным образом выбираем номер одного из незаконченных подмножеств. </font> result[i] = p l = l + 1 '''return''' result Так как на каждом шаге интервал случайных чисел разделяется только на на два диапазона, а всего шагов {{---}} <tex> n </tex> то итоговая сложность алгоритма {{---}} <tex> O(n) </tex> . Сложность преподсчета чисел Стирлинга второго рода {{---}} <tex> O(n^2) </tex> если преподсчитать их [[Динамическое программирование | динамически]]. ==== Разбиение на случайное число подмножеств ====Описаный алгоритм можно применить для получения разбиения множества на случайное число подмножеств. Для этого достаточно случайным образом выбрать число подмножеств из интевала <tex> [1, n] </tex> , так чтобы вероятность получить число <tex> k </tex> была пропорциональна числу способов разбить <tex> n </tex> элементовна <tex> k </tex> подмножеств (что равно <tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n}{k} </tex>). Разделим интервал случайных чисел <tex> [1, которые могут находиться s] </tex> (где <tex> s = </tex> <tex dpi="180"> \sum\limits_{i=1}^{n}{\genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n}{i}}</tex>) на <tex> n </tex> диапазонов, так чтобы размер диапазона <tex> d_i </tex> был равен<tex> \genfrac{\lbrace}{\rbrace}{0pt}{0}{n}{i} </tex>. С помощью функции для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в данном комбинаторном объектеинтервале <tex> [1, s] </tex>. Возьмем <tex> k </tex> такое, что <tex> r \in d_k </tex> и построим случайное разбиение множества из <tex> n </tex> элементов на <tex> k </tex> подмножеств. == См. также ==*[[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса|Метод генерации случайной перестановки]]*[[Методы генерации случайного сочетания|Методы генерации случайного сочетания]]

Будем получать элементы по порядку== Источники информации ==*Комбинаторные алгоритмы: сначала определимучебное пособие / Т. И. Федоряева. {{---}} Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, какой элемент будет стоять на первом месте, потом на втором и так далее2011. 118 с. Считаем, что мы построили префикс длинны <tex> i </tex> : <tex> I = \{a_1, a_2, \ldots, a_i\{---}} <ISBN 978-5-4437-0019-9*Non-Uniform Random Variate Generation /tex>Luc Devroye. Будем выбирать элемент <tex> a_{i+1{---}} </tex> из множества всех возможных такSpringer, New York, чтобы вероятность выбора элемнта <tex> b \in B </tex>NY, была пропорциональна числу комбинторных обьектов размера <tex> n </tex> с префиксом <tex> I + b </tex>1986. 843 c. Для этого разобъем отрезок натуральных чисел <tex> {{---}} ISBN 978-1-4613-8645-2[1, s[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] </tex>. где <tex> s </tex> - число различных комбинаторных объектов с текущим префиксом, на <tex> k </tex> диапазонов так, чтобы размер диапазаоны <tex> d_j </tex> был равен числу объектов с префиксом <tex> I + b_j </tex>. С помощью функция для генерации случайного числа получим число <tex> r </tex> в интервале [[1, sКатегория: Комбинаторика]] и добавим к префиксу I элемент <tex> b_j </tex> соответствующий диапазону отрезка в которм находится полученное число.