Изменения

При сведении текущей задачи теории расписаний <tex> S </tex> к какой-то другой <tex> S' </tex>(не обязательно задаче теории расписаний) необходимо доказать два пункта:

# Следствие того, что если мы оптимизируем <tex> S' </tex>, мы также оптимизируем ответ для <tex> S </tex> (обратное в общем случае неверно).'''Примечание — если ''': если требуется полиномиальное время для решения задачи, требуется, чтобы сведение к другой задаче и трансформация расписания в допустимое также происходили должны происходить за полиномиальное время.=== Примеры ======= 1 | intree | Sum(w_i C_i) ====Предположим, что мы уже умеем решать задачу <tex> S' = 1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i </tex><ref>P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, p. 73 </ref>. Сведем нашу задачу <tex> S </tex> к ней следующим образом:* Развернем все ребра, теперь если работа <tex> i </tex> зависела от работы <tex> j </tex>, работа <tex> j </tex> будет зависеть от <tex> i </tex>.* Заменим все стоимости <tex> w_i </tex> на противоположные <tex> w'_i = - w_i</tex>.Утверждается, что решив соответствующую задачу <tex> S' </tex> и развернув полученное расписание, мы получим ответ для текущей задачи.# Полученное расписание будет допустимым, так как расписание для <tex> S' </tex> было допустимым, и в нем никакие две работы не пересекались и не прерывались. Развернув, мы не могли нарушить это свойство. Также из-за того, что мы развернули расписание, мы добились того, что все работы выполняются в правильном порядке (в расписании для <tex> S' </tex> из-за того, что расписание было развернуто, порядок был нарушен для всех работ). Таким образом, получили что расписание — допустимое.# Пусть с помощью задачи <tex> S' </tex> мы получили последовательность работ <tex> 1 \dots n </tex> (не теряя общности, занумеруем их от 1 до n). Распишем по определению значение целевой функции для <tex> S' </tex>:#: <tex>\sum -w_i C_i = \sum \limits_{i=1}^n ( -w_i \sum \limits_{j=1}^i p_j ) = \\\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i+1}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i = \\\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i p_i - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i </tex>#: Заметим, что первое слагаемое соответствует целевой функции <tex> \sum w_i C_i </tex> для последовательности <tex> n \dots 1 </tex>, а второе и третье слагаемые — константы, зависящие только от начальных данных и не зависящие от перестановки работ. Таким образом, оптимальное значение для <tex> S' </tex> также минимизирует <tex> S </tex>, ч.т.д.

С помощью этого метода решаются:* Задачи класса [[Классификация задач|Open Shop]] при условии <tex>p_{ij}=1</tex> можно свести к задачам равной длительности на параллельных станках:*:[[Opij1Sumwc|<tex> O \mid p_{ij} =1 \mid \sum w_i C_i </tex>]]*:<tex> O \mid p_{ij} =1, r_i \mid C_{max} </tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 161</ref>* Задачи класса [[Классификация задач|Flow Shop]] при условии <tex>p_{ij}= 1</tex> можно свести к задаче на одном станке:*:[[Fpij1sumwu|<tex> F \mid p_{ij} = 1 \mid \sum w_i U_i </tex>]]* Часто в задачах, в которых допускаются прерывания, оптимальный ответ совпадает с соответствующими задачами без прерываний:*:<tex> P \mid pmtn \mid \sum w_i C_i </tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 121</ref>*:[[Flow shop|<tex> F2 \mid pmtn \mid C_{max} </tex>]]* Ряд задач можно свести к задаче поиска максимального потока:*:<tex> Q \mid pmtn, r_i\mid L_{max} </tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 129-133</ref>*:[[RSumCi|<tex> R \mid \mid \sum C_i </tex>]]* Некоторые задачи сводятся к другим похожим задачам теории расписаний путем преобразования их расписаний:*:[[1outtreesumwc|<tex> 1 \mid intree \mid \sum w_i C_i </tex>]] == Построение расписания по нижней оценке ==Этот метод обычно применим к задачам, в которых целевая функция — <tex> C_{max}</tex>. Обычно построение расписания по нижней оценке происходит в два этапа:# Построение некоторого набора нижних ограничений на произвольное расписание для задачи <tex> S </tex>. # Построение произвольного допустимого расписания, достигающего максимального ограничения из построенного набора. С помощью этого метода решаются следующие задачи:* <tex> P \mid pmtn \mid C_{max}</tex> <ref>Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. 108</ref>* [[RpmtnCmax|<tex> R \mid pmtn \mid C_{max}</tex>]]* [[Opij1Cmax| Sum(C_i) <tex> O \mid p_{ij}=1 \mid C_{max}</tex>]]* [[QpmtnCmax|<tex> Q \mid pmtn \mid C_{max}</tex>]] Ниже будет рассмотрен частный пример решения задачи подобным образом:=== P | pmtn | C_max ==={{Задача|definition = Имеется <tex>m</tex> однородных машин, работающих параллельно, и <tex>n</tex> работ, которые могут быть прерваны и продолжены позже. Необходимо минимизировать время выполнения всех работ}} Найдем набор ограничений на значение <tex> C_{max} </tex> для произвольного допустимого расписания <tex> S </tex> : # В допустимом расписании выполнение всех работ не может завершиться раньше одной из них, поэтому <tex> C_{max} \geqslant p_i </tex>.# Если все станки работали время <tex> C_{max} </tex>, на них могло выполниться не больше <tex> C_{max} \cdot m </tex> работы, то есть <tex> \sum\limits_{i=1}^n p_i \leqslant C_{max} \cdot m </tex> и <tex> C_{max} \geqslant \dfrac1m \sum\limits_{i=1}^n p_i </tex>.Из этих ограничений следует, что <tex> C_{max} =\max {\left( \max\limits_{i=1 \cdots n} p_i,~ \dfrac1m \sum\limits_{i=1}^n p_i \right)} </tex>. Построим расписание, подходящее под эту границу: будем по очереди заполнять машины работами в произвольном порядке, и если очередная работа не помещается на текущей машине полностью, перенесем ее выходящую за <tex> C_{max} </tex> часть на следующую машину. Благодаря первому ограничению никакая работа не будет выполняться одновременно на двух станках, а благодаря второму — не останется работы, которую мы не сможем выполнить.

==== O | p_ij=1 | Sum(w_i C_i) ==Бинарный поиск по ответу ==Докажем, что оптимальный ответ Этот способ часто подходит для <tex> S </tex> равен оптимальному ответу к задаче <tex>S' = P \mid p_i=mзадач, pmtn \mid \sum w_i C_i </tex>, где прерывания позволено делать только в целые моменты времени.# Целевые функции задач совпадают, поэтому из оптимальности которых надо минимизировать <tex> S' </tex> следует оптимальность <tex> S </tex>.# Покажем, как получить из расписания <tex> S' </tex> допустимое расписание для <tex>SC_{max} </tex> (в расписании для <tex>S'</tex> допустимость нарушает то, что на одной машине выполняется несколько блоков одной работы):## Построим двудольный граф, в левую долю которого поместим работы, а в правую — возможные моменты времени. Из вершины, соответствующей работе <tex> i </tex> будет идти ребро в вершину, соответствующую временному моменту <tex> t</tex>, если работа <tex> i </tex> в расписании для <tex> S' </tex> претендует на выполнение в момент времени <tex>t</tex>.## Раскрасим ребра этого графа в <tex>m</tex> цветов, из теории графов известно, что это можно сделать.## Назначим выполнение единичного элемента работы <tex>i</tex> в момент времени <tex>t</tex> на машине <tex>k</tex>, если соответствующее ребро раскрашено в цвет <tex>k</tex>.## После данного преобразования мы не изменим значение целевой функции (так как мы переставляем только элементы работ, выполняющихся в один и тот же момент времениумеем решать соответствующую задачу существования расписания). Также расписание станет допустимым для <tex> S </tex>, так как по определению реберной раскраски, не будет ни одной работы, два единичных блока которых выполняется на одной машине и во все моменты времени не окажется того, что на одну машину назначено две работы.Чтобы непосредственно решить эту задачу, воспользуемся теоремой о том, что реже для задачи <tex> P \mid p_i=m, pmtn \mid \sum w_i C_i U_i </tex> существует оптимальное расписание без прерываний. ИзвестноВажно помнить, что для того, чтобы получить оптимальное расписание для такой задачи без прерываний, надо помещать работы если требуется полиномиальное по очереди на машины <tex>1 \dots m </tex> в порядке убывания весов. Длительности у всех работ совпадают, поэтому расписание будет состоять из <tex> \lfloor \frac{n}{m} \rfloor </tex> блоков по <tex> m </tex> работ ирешение, возможнооно не должно зависеть от логарифма ответа, одного неполного блока из но иногда ответ ограничен полиномом от <tex> n \mod m </tex> работ. Таким образом, аналогично задаче <tex> O \mid p_{ij}=1 \mid C_{max}</tex>, чтобы получить допустимое расписание, можно не строить раскраску графа, а просто циклически сдвигать последовательности работ внутри каждого блока, что позволяет достичь асимптотики <tex> O(m n) </tex>и мы можем применить этот метод.

Метод сведения задачи к задаче на параллельных машинах также работает для некоторых других open-shop Примером решения задач.подобным методом служит следующая задача:[[QpmtnriLmax|<tex> Q \mid pmtn, r_i \mid L_{max} </tex>]]

== Построение Жадное построение расписания по нижней оценке ==Этот метод обычно применим к задачамДля решения задач теории расписаний часто применяется [[Определение матроида|теория матроидо]]в, а в которых целевая функция — <tex> C_{max}</tex>. Построим какойчастности — [[Теорема Радо-то набор нижних ограничений Эдмондса (жадный алгоритм)|жадный алгоритм]]: алгоритм решения задач путем выбора локально оптимальных решений на произвольное расписание для задачи <tex> S </tex> и возьмем из них максимальноекаждом этапе алгоритма. Затем построим произвольное допустимое расписаниеЕстественно, достигающее этой оценкидалеко не все оптимизационные задачи можно решать жадно — для этого сначала необходимо доказать оптимальность жадного выбора.

* [[Правило Лаулера|<tex> P 1 \mid pmtn prec \mid C_f_{max}</tex>]]* [[1outtreesumwc|<tex> R 1 \mid pmtn outtree \mid C_{max}\sum w_i C_i </tex>]]* [[1pi1sumwu|<tex> O 1 \mid p_{ij}p_i =1 \mid C_\sum w_i U_i </tex>]]* [[1sumu|<tex> 1 \mid \mid \sum U_i </tex>]] Обычно оптимальность жадного выбора доказывают двумя способами:  === Неправильно ===Приведем пример часто распространенных '''неправильных''' действий при доказательстве оптимальности жадного алгоритма: Пусть предложенным нами алгоритмом мы получили какое-то решение <tex> S </tex>. Атомарными изменениями в этом решении <tex> S </tex> будем получать другие допустимые решения <tex> S' </tex> и докажем, что <tex> f(S) \leqslant f(S') </tex>. Тогда решение <tex> S </tex> — оптимально. Проблема в этих рассуждениях в том, что ими мы доказываем локальную оптимальность алгоритма в решении <tex> S </tex>. Получение же глобального минимума может потребовать нескольких атомарных изменений в расписании, поэтому доказать оптимальность таким образом в общем случае невозможно. Как ближайшую аналогию, можно привести '''неправильное''' утверждение для произвольной функции <tex> f(\bar x) </tex> — «если все частные производные <tex> \dfrac{\partial f}{\partial x_1} \dots \dfrac{\partial f}{max\partial x_n}</tex>неотрицательны, то в точке <tex> \bar x </tex> наблюдается глобальный минимум».

=== Примеры Правильно ======= P | pmtn | C_max ====# В допустимом расписании выполнение всех работ не может завершиться раньше одной из них, поэтому При доказательстве оптимательности применима стратегия '''аргумент замены''' (англ. ''exchange argument''). Стратегия заключается в рассмотрении текущего решения <tex> S </tex> и оптимального решения <tex> T \ge p_i O </tex>.# Если все станки работали время Далее предлагается способ модификации <tex> T O </tex>, на них могло выполниться не больше в <tex> Tm O'</tex> работытак, то есть что:# <tex> f(O') \sum\limits_i p_i \le Tm leqslant f(O) </tex> и , то есть <tex> T \ge \frac1m \sum\limits_i p_i O' </tex>также оптимально.# Тогда <tex> T_{min} = \max {(\max\limits_i p_i, \frac1m \sum\limits_i p_i)} O' </tex> «более похоже» на <tex> S </tex>.Построим расписание, подходящее под эту границу: будем по очереди заполнять машины работами в произвольном порядке, и если очередная работа не помещается чем на текущей машине полностью, перенесем ее выходящую за <tex> T_{min} O </tex> часть на следующую машину. Благодаря первому ограничению никакая работа не будет выполняться одновременно на двух станках, а благодаря второму — не останется работы, которую мы не сможем выполнить.

==== O | p_ij=1 | C_max ====# В допустимом расписании на каждом станке надо обработать каждую работуЕсли такой способ найден, получаем, поэтому что какой-то последовательностью модификаций <tex> T O \to O_t' \ge n </tex>.# В допустимом расписании каждую работу нужно обработать на всех станках, причем ее нельзя обрабатывать на двух станках одновременно, поэтому <tex> T to \dots \to O_1' \ge m to S </tex>.# Тогда получим <tex> T_{min} = f(S) \max {leqslant f(m, nO_1')} </tex>Оптимальное расписание получается циклическими сдвигами последовательности <tex> 1 \leqslant \dots n \leqslant f(O_t') \leqslant f(O) </tex> и выглядит следующим образом:* Для , из чего следует оптимальность <tex> n < m S </tex>: '''0 1 2 ... n-1 n n+1 ... m-1 m''' '''M_1''' 1 2 3 ... n-1 n - ... - - '''M_2''' - 1 2 ... n-2 n-1 n ... - - '''.''' ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... '''M_m-1''' - - - ... ... ... ... ... n - '''M_m''' - - - ... ... ... ... ... n-1 n* Для <tex> n \ge m </tex>: '''0 1 2 ... k k+1 ... n-1 n''' '''M_1''' 1 2 3 ... k k+1 ... n-1 n '''M_2''' n 1 2 ... k-1 k ... n-2 n-1 '''.''' ... ... ... ... ... ... ... ... ... '''.''' ... ... ... ... ... ... ... ... ... '''M_m''' n-m+2 n-m+3 ... ... ... ... ... n-m n-m+1

== Бинарный поиск по ответу ==Этот способ часто подходит для задач, в которых надо минимизировать <tex> \sum w_i U_i </tex>Отношение «более похоже» должно быть [[Отношение порядка | отношением частичного строгого порядка]]. Важно помнить, что если требуется полиномиальное по <tex> n </tex> решение, оно не должно зависеть от логарифма ответа, но иногда ответ ограничен полиномом от <tex>n</tex> (в частности, Часто в качестве него можно выбрать отношение «длина наибольшего общего префикса решения <tex> \sum U_i A </tex>), и мы можем применить этот метод.=== Примеры ======= O | p_ij = 1| Sum(U_i) ====Перенумеруем работы по возрастанию их дедлайнов, то есть <tex> d_1 \le d_2 \le \dots d_n S </tex>.{{Утверждение|statement=Если мы можем выполнить меньше наибольшего общего префикса решения <tex> k B </tex> каких-то работ, мы можем выполнить и <tex> k S </tex> последних работ».|proof=Действительно, Тогда если в допустимом расписании все периоды выполнения <tex> t_{iq} </tex> работы <tex> i </tex> заменить на периоды выполнения работы <tex> j > i </tex>мы сможем увеличить длину наибольшего общего префикса для оптимального решения, оно останется допустимымне нарушив оптимальности, так как мы приблизимся к <tex> t_{iq} \le d_i \le d_j S </tex>.}}Таким образом, будем брать последние <tex> k </tex> работ Можно выбирать и пытаться составить из них допустимое расписание (для этого известен полиномиальный алгоритм<ref>P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006)более сложные отношения, 5th editionнапример, p. 163 </ref>). Получили решение за в доказательстве оптимальности алгоритма <tex> O(P \mid \log n mid \cdot T_{exists}(n)) sum w_i C_i </tex>, где <tex> T_{exists} </tex> — время для решения задачи <tex> O P \mid p_{ij}=1, d_i pmtn \mid - \sum w_i C_i </tex>используется отношение «время последнего прерывания больше или количество прерываний меньше».

== Жадное построение расписания См. также. ===== Примеры ===* [[Правило Лаулера]]* [[Flow shop]]===* [[Opi1sumu|<tex> O \mid p_{ij} = 1 | prec | f_max ====\mid \sum U_i</tex>]]

== Источники информации ==* Peter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer ISBN 978-3-540-69515-8 [[Категория: Дискретная математика Алгоритмы и алгоритмыструктуры данных]]