Изменения
Нет описания правки
== Метод опорных векторов в задаче классификации ==
Рассмотрим задачу бинарной классификации, в которой объектам из $X=\mathbb{R}^n$ соответствует один из двух классов $Y = \{-1, +1\}$.
Пусть задана обучающая выборка пар "объект-ответ": $XT^\ell = (\vec{x}_i, y_i)_{i=1}^\ell$. Необходимо построить алгоритм классификации $a(\vec{x}) : X \to Y$.
=== Разделяющая гиперплоскость ===
[[Файл:svm_hyperplane.png|300px|thumb|right|Примеры разделяющих гиперплоскостей в $\mathbb{R}^2$]] В пространстве $\mathbb{R}^n$ уравнение $\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b = 0$ при заданных $\vec{w}$ и $b$ определяет гиперплоскость — (n-1)-мерное множество векторов $\vec{x} = (x^1x_1, \ldots, xx_n)$, принадлежащих пространству меньшей размерности $\mathbb{R}^{n)-1}$. Для Например, для $\mathbb{R}^1$ это гиперплоскостью является точка, для $\mathbb{R}^2$ — прямая, для $\mathbb{R}^3$ — плоскость и т.д. Эта гиперплоскость Параметр $\vec{w}$ определяет вектор нормали к гиперплоскости, а через $\frac{b}{\lVert \vec{w} \rVert}$ выражается расстояние от гиперплоскости до начала координат. Гиперплоскость делит $\mathbb{R}^n$ на два полупространства: $\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b > 0$ и $\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b < 0$.
Говорят, что гиперплоскость разделяет два класса $C_1$ и $C_2$, если объекты этих классов лежат по разные стороны от гиперплоскости, то есть выполненолибо
$\begin{cases}\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b > 0, && \forall x \in C_1 \\ \langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b < 0, && \forall x \in C_2\end{cases}$
=== Линейно разделимая выборка ===
Пусть выборка линейно разделима, то есть существует некоторая гиперплоскость, разделяющая классы $-1$ и $+1$. Тогда в качестве алгоритма классификации можно взять использовать линейный пороговый классификатор: $a(\vec{x}) = sign(\langle \vec{w}, \vec{x} \rangle - b) = sign\left(\sum\limits_{j=1}^\ell w_j x^j - b\right)$
Но для двух линейно разделимых классов возможны различные варианты построения разделяющих гиперплоскостей. Метод опорных векторов выбирает ту гиперплоскость, которая максимизирует отступ между классами:
{{Определение
|definition=
'''Отступ''' (англ. ''margin'') — характеристика, оценивающая, насколько объект "погружён" в свой класс, насколько типичным представителем класса он является. Чем меньше значение отступа $M(x_i, y_i)M_i$, тем ближе объект $\vec{x}_i$ подходит к границе классов и тем выше становится вероятность ошибки. Отступ $M(x_i, y_i)M_i$ отрицателен тогда и только тогда, когда алгоритм $a(x)$ допускает ошибку на объекте $x_i\vec{x}_i$. <br><br> Для задачи бинарной классификациилинейного классификатора отступ определяется уравнением: $MM_i(x_i\vec{w}, y_ib) = y_i(\langle x_i, \vec{w \rangle - w_0)$Для задачи классификации на несколько классов: $M(x_i}, y_i) = \langle x_i, w_vec{y_ix}_i \rangle - \max\limits_{y \in \mathbb{Y}, y \ne y_i} \langle x_i, w_y\rangleb)$
}}
Если выборка линейно разделима, то существует такая гиперплоскость, отступ от которой до каждого объекта положителен:
$\exists \vec{w}, b : \; M_i(\vec{w}, b) = y_i(\langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - b) > 0, \; i = 1\ldots\ell$
Мы хотим построить такую разделяющую гиперплоскость, чтобы объекты обучающей выборки находились на наибольшем расстоянии от неё.
Обозначим любой "граничный" объект из класса $+1$ как $\exists \vec{w}, b : M_i(\vec{w}, b) = y_i(\langle \vec{wx}_+$, из класса $-1$ как $\vec{x} \rangle _- b) > 0$. Их отступ равен единице, \; i = 1\ldots\ell$то есть
$\begin{cases}
M_+(\vec{w}, b) = (+1)(\langle \vec{w}, \vec{x}_+ \rangle - b) = 1 \\
M_-(\vec{w}, b) = (-1)(\langle \vec{w}, \vec{x}_- \rangle - b) = 1
\end{cases}$
$\frac{1}{2} \lVert \vec{w} \rVert^2 + C \sum\limits_{i=1}^\ell \left(1 - M_i(\vec{w}, b)\right)_+ \to \min\limits_{w, b}$
Теперь научимся её решать.
{{Теорема
$$
Если $\hat{x} \in \arg\min f$ — решение задачи точка локального минимума при наложенных ограничениях, то существуют такие множители $\mu_i, i = 1\ldots m$, $\;\lambda_j, j = 1\ldots k$, что для функции Лагранжа $L(x; \mu, \lambda)$ выполняются условия: $$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad L(x; \mu, \lambda) = f(x) + \sum\limits_{i=1}^m \mu_i g_i(x) + \sum\limits_{j=1}^k \lambda_j h_j(x) \\ g_i(x) \leq 0,\;h_j(x) = 0 \quad \text{(исходные ограничения)} \\ \mu_i \geq 0 \quad \text{(двойственные ограничения)} \\ \mu_i g_i(x) = 0 \quad \text{(условие дополняющей нежёсткости)} \end{cases}$$
При этом искомая точка является седловой точкой функции Лагранжа: минимумом по $x$ и максимумом по двойственным переменным $\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x} = 0 \quad L(x; \mu, \lambda) = f(x) + \sum\limits_{i=1}^m \mu_i g_i(x) + \sum\limits_{j=1}^k \lambda_j h_j(x) \\ g_i(x) \leq 0,\;h_j(x) = 0 \quad \text{(исходные ограничения)} \\ \mu_i \geq 0 \quad \text{(двойственные ограничения)} \\ \mu_i g_i(x) = 0 \quad \text{(условие дополняющей нежёсткости)} \end{cases}$$.
}}
По теореме Каруша—Куна—Таккера, поставленная нами задача минимизации эквивалентна двойственной задаче поиска седловой точки функции Лагранжа:
$\mathscr{L}(\vec{w},b,\xi; \lambda, \eta) = \frac{1}{2} \lVert w \rVert^2 - \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i \left(M_i(\vec{w}, b) - 1\right) - \sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i \left(\lambda_i + \eta_i - C\right)$
$\lambda_i$ — переменные, двойственные к ограничениям $M_i \geq 1 - \xi_i$
$\eta_i$ — переменные, двойственные к ограничениям $\xi_i \geq 0$
Продифференцируем функцию Лагранжа и приравняем к нулю производные. Получим следующие ограничения:
$\begin{array}{lcl}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial w} = \vec{w} - \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i = 0 & \Rightarrow & \vec{w} = \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial b} = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0 & \Rightarrow & \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0 \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi_i} = -\lambda_i - \eta_i + C = 0 & \Rightarrow & \eta_i + \lambda_i = C, \quad i = 1, \ldots, \ell
\end{array}$
Заметим, что $\eta_i \geq 0$, $\lambda_i \geq 0$, $C > 0$, поэтому из последнего ограничения получаем $0 \leq \eta_i \leq C$, $0 \leq \lambda_i \leq C$.
Диапазон значений $\lambda_i$ (которые, как указано выше, соответствуют ограничениям на величину отступа) позволяет нам разделить объекты обучающей выборки на три типа:
# $\lambda_i = 0 \; \Rightarrow \; \eta_i = C; \; \xi_i = 0; \; M_i \geq 1 \;$ — периферийные (неинформативные) объекты <br> Эти объекты лежат в своём классе, классифицируются верно и не влияют на выбор разделяющей гиперплоскости (см. уравнение для $\vec{w}$)
# $0 < \lambda_i < C \; \Rightarrow \; 0 < \eta_i < C; \; \xi_i = 0; \; M_i = 1 \;$ — опорные граничные объекты <br> Эти объекты лежат ровно на границе разделяющей полосы на стороне своего класса
# $\lambda_i = C \; \Rightarrow \; \eta_i = 0; \; \xi_i > 0; \; M_i < 1 \;$ — опорные объекты-нарушители <br> Эти объекты лежат внутри разделяющей полосы или на стороне чужого класса
{{Определение
|definition=
'''Опорный объект''' (опорный вектор, англ. ''support vector'') — объект $\vec{x}_i$, соответствующий которому множитель Лагранжа отличен от нуля: $\lambda_i \neq 0$.
}}
Теперь подставим ограничения, которые мы получили при дифференцировании, в функцию Лагранжа. Получим следующую постановку двойственной задачи, которая зависит только от двойственных переменных $\lambda$:
$\begin{cases}
-\mathscr{L}(\lambda) = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^\ell \sum\limits_{j=1}^\ell \lambda_i \lambda_j y_i y_j \langle \vec{x}_i, \vec{x}_j \rangle \to \min\limits_\lambda \\
0 \leq \lambda_i \leq C, \quad i = 1, \ldots, \ell \\
\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0
\end{cases}$
Это также задача квадратичного программирования. Решение задачи лежит в пересечении $\ell$-мерного куба с ребром $C$ и гиперплоскости $\langle \lambda, y \rangle = 0$, что является выпуклым многогранником размерности $\ell-1$. В этом многограннике нужно найти минимум выпуклого квадратичного функционала. Следовательно, данная задача имеет единственное решение.
Существуют различные методы поиска решения: можно воспользоваться универсальным солвером задачи квадратичного программирования ([https://www.ibm.com/analytics/cplex-optimizer CPLEX], [http://www.gurobi.com/ Gurobi]), либо алгоритмом, учитывающим специфические особенности SVM ([https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ SMO], [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS]).
После того, как мы получили вектор коэффициентов $\vec{\lambda}$, можем выразить решение прямой задачи через решение двойственной:
$\begin{cases}
\vec{w} = \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i \\
b = \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i, \quad \forall i: \lambda_i > 0, M_i = 1
\end{cases}$
На практике для повышения вычислительной устойчивости рекомендуется при расчёте $b$ брать медиану по опорным граничным объектам:
$b = med\{ \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i : \lambda_i > 0, M_i = 1, i = 1, \ldots, \ell\}$
Теперь можем переписать наш линейный классификатор, выразив $\vec{w}$ через $\vec{\lambda}$:
$a(x) = sign \left(\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \langle \vec{x}_i, \vec{x} \rangle - b\right)$
=== Нелинейное обобщение, kernel trick ===
Существует ещё один подход к решению проблемы линейной разделимости, известный как трюк с ядром (kernel trick). Если выборка объектов с признаковым описанием из $X = \mathbb{R}^n$ не является линейно разделимой, мы можем предположить, что существует некоторое пространство $H$, вероятно, большей размерности, при переходе в которое выборка станет линейно разделимой. Пространство $H$ здесь называют спрямляющим, а функцию перехода $\psi : X \to H$ — спрямляющим отображением. Построение SVM в таком случае происходит так же, как и раньше, но в качестве векторов признаковых описаний используются векторы $\psi(\vec{x})$, а не $\vec{x}$. Соответственно, скалярное произведение $\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle$ в пространстве $X$ везде заменяется скалярным произведением $\langle \psi(\vec{x}_1), \psi(\vec{x}_2) \rangle$ в пространстве $H$. Отсюда следует, что пространство $H$ должно быть гильбертовым, так как в нём должно быть определено скалярное произведение.
Обратим внимание на то, что постановка задачи и алгоритм классификации не используют в явном виде признаковое описание и оперируют только скалярными произведениями признаков объектов. Это даёт возможность заменить скалярное произведение в пространстве $X$ на [[Ядра|ядро]] — функцию, являющуюся скалярным произведением в некотором $H$. При этом можно вообще не строить спрямляющее пространство в явном виде, и вместо подбора $\psi$ подбирать непосредственно ядро.
Постановка задачи с применением ядер приобретает вид:
$\begin{cases}
-\mathscr{L}(\lambda) = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^\ell \sum\limits_{j=1}^\ell \lambda_i \lambda_j y_i y_j \color{brown}{K(\vec{x}_i, \vec{x}_j)} \to \min\limits_\lambda \\
0 \leq \lambda_i \leq C, \quad i = 1, \ldots, \ell \\
\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0
\end{cases}$
$a(x) = sign \left(\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \color{brown}{K(\vec{x}_i, \vec{x})} - b\right)$
== Преимущества и недостатки SVM ==
Преимущества SVM перед методом стохастического градиента и нейронными сетями:
* Задача выпуклого квадратичного программирования хорошо изучена и имеет единственное решение.
* Метод опорных векторов эквивалентен двухслойной нейронной сети, где число нейронов на скрытом слое определяется автоматически как число опорных векторов.
* Принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости приводит к максимизации ширины разделяющей полосы, а следовательно, к более уверенной классификации.
Недостатки классического SVM:
* Неустойчивость к шуму: выбросы в исходных данных становятся опорными объектами-нарушителями и напрямую влияют на построение разделяющей гиперплоскости.
* Не описаны общие методы построения ядер и спрямляющих пространств, наиболее подходящих для конкретной задачи.
* Нет отбора признаков.
* Необходимо подбирать константу $C$ при помощи кросс-валидации.
== Модификации ==
Существуют различные дополнения и модификации метода опорных векторов, направленные на устранение описанных недостатков:
* [http://jmlr.csail.mit.edu/papers/v1/tipping01a.html Метод релевантных векторов (Relevance Vector Machine, RVM)]
* [https://papers.nips.cc/paper/2450-1-norm-support-vector-machines.pdf 1-norm SVM (LASSO SVM)]
* [http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A16n214.pdf Doubly Regularized SVM (ElasticNet SVM)]
* [https://arxiv.org/abs/1901.09643v1 Support Features Machine (SFM)]
* [http://www.robots.ox.ac.uk/~minhhoai/papers/SVMFeatureWeight_PR.pdf Relevance Features Machine (RFM)]
==Примеры кода==
===Пример на языке Java===
Пример классификации с применением <code>smile.classification.SVM</code><ref>[https://haifengl.github.io/smile/api/java/smile/classification/SVM.html/ Smile, SVM]</ref>
<code>Maven</code> зависимость:
<dependency>
<groupId>com.github.haifengl</groupId>
<artifactId>smile-core</artifactId>
<version>1.5.2</version>
</dependency>
'''import''' smile.classification.SVM;
'''import''' smile.data.NominalAttribute;
'''import''' smile.data.parser.DelimitedTextParser;
'''import''' smile.math.kernel.GaussianKernel;
'''import''' java.util.Arrays;
<font color="green">// read train & test dataset</font> '''var''' parser = new DelimitedTextParser(); parser.setResponseIndex(new NominalAttribute("class"), 0); '''var''' train = parser.parse("USPS Train", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.train")); '''var''' test = parser.parse("USPS Test", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.test")); '''var''' classes = Метод опорных векторов в задаче регрессии Arrays.stream(test.labels()).max().orElse(0) + 1; <font color="green">// build SVM classifier</font> '''var''' svm =new SVM<>(new GaussianKernel(8.0), 5.0, classes, SVM.Multiclass.ONE_VS_ONE); svm.learn(train.x(), train.labels()); svm.finish(); <font color="green">// TODOcalculate test error rate</font> '''var''' error = 0; for (int i = 0; i < test.x().length; i++) { if (svm.predict(test.x()[i]) != test.labels()[i]) { error++; } } System.out.format("USPS error rate = %.2f%%\n", 100.0 * error / test.x().length);
== См. также ==
* [[Общие понятия]]
* [[Ядра]]
* [[Обзор библиотек для машинного обучения на Python]]
== Примечания ==
== Источники информации ==
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 machinelearning.ru {{---}} — Машина опорных векторов]* [https://www.youtube.com/watch?v=Adi67_94_gc&list=PLJOzdkh8T5kp99tGTEFjH_b9zqEQiiBtC&index=5 Лекция "Линейные методы классификации: метод опорных векторов"] {{---}} — К.В. Воронцов, курс "Машинное обучение" 2014* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 Wikipedia {{---}} — Метод опорных векторов]* Alexey Nefedov {{---}} — [https://svmtutorial.online/ Support Vector Machines: A Simple Tutorial]* John Platt {{---}} — [https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines]* Shai Fine, Katya Scheinberg — [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS: An Incremental Active Set Method for SVM]
[[Категория: Машинное обучение]]
[[Категория: Классификация]]
[[Категория: Регрессия]]