286
правок
Изменения
Пример на языке R
== Метод опорных векторов в задаче классификации ==
=== Линейно неразделимая выборка ===
На практике линейно разделимые выборки практически не встречаются: в данных возможны выбросы и нечёткие границы между классами. В таком случае поставленная выше задача не имеет решений, и необходимо ослабить ограничения, позволив некоторым объектам попадать на "территорию" другого класса. Для каждого объекта отнимем от отступа некоторую положительную величину $\xi_i$, но потребуем чтобы эти введённые поправки были минимальны. Это приведёт к следующей постановке задачи, называемой также ''SVM с мягким отступом'' (англ. ''soft-margin SVM''):
$\begin{cases}
\frac{1}{2} \lVert \vec{w} \rVert^2 \color{redbrown}{+ C \sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i} \to \min\limits_{w, b, \color{redbrown}{\xi}} \\M_i(\vec{w}, b) \geq 1 \color{redbrown}{- \xi_i}, \quad i = 1, \ldots, \ell \\\color{redbrown}{\xi_i \geq 0, \quad i = 1, \ldots, \ell} \\
\end{cases}$
$\frac{1}{2} \lVert \vec{w} \rVert^2 + C \sum\limits_{i=1}^\ell \left(1 - M_i(\vec{w}, b)\right)_+ \to \min\limits_{w, b}$
Теперь научимся её решать.
{{Теорема
$$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x} = 0, \quad L(x; \mu, \lambda) = f(x) + \sum\limits_{i=1}^m \mu_i g_i(x) + \sum\limits_{j=1}^k \lambda_j h_j(x) \\ g_i(x) \leq 0,\;h_j(x) = 0 \quad \text{(исходные ограничения)} \\ \mu_i \geq 0 \quad \text{(двойственные ограничения)} \\ \mu_i g_i(x) = 0 \quad \text{(условие дополняющей нежёсткости)} \end{cases}$$
При этом искомая точка является седловой точкой функции Лагранжа: минимумом по $x$ и максимумом по двойственным переменным $\mu$.
}}
По теореме Каруша—Куна—Таккера, поставленная нами задача минимизации эквивалентна двойственной задаче для поиска седловой точки функции Лагранжа:
$\mathscr{L}(\vec{w},b,\xi; \lambda, \eta) = \frac{1}{2} \lVert w \rVert^2 - \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i \left(M_i(\vec{w}, b) - 1\right) - \sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i \left(\lambda_i + \eta_i - C\right)$
$\eta_i$ — переменные, двойственные к ограничениям $\xi_i \geq 0$
Запишем необходимые условия седловой точки функции Лагранжа:
$\begin{cases}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial w} = 0, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial b} = 0, \quad \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi} = 0 \\
\xi_i \geq 0, \quad \lambda_i \geq 0, \quad \eta_i \geq 0, && i = 1, \ldots, \ell \\
\lambda_i = 0 \;\text{либо}\; M_i(\vec{w},b) = 1 - \xi_i, && i = 1, \ldots, \ell \\
\eta_i = 0 \;\text{либо}\; \xi_i = 0, && i = 1, \ldots, \ell
\end{cases}$
Продифференцируем функцию Лагранжа и приравняем к нулю производные. Получим следующие ограничения:
$\begin{array}{lcl}
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial w} = \vec{w} - \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i = 0 & \Rightarrow & \vec{w} = \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial b} = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0 & \Rightarrow & \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0 \\
\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \xi_i} = -\lambda_i - \eta_i + C = 0 & \Rightarrow & \eta_i + \lambda_i = C, \quad i = 1, \ldots, \ell
\end{array}$
Заметим, что $\eta_i \geq 0$, $\lambda_i \geq 0$, $C > 0$, поэтому из последнего ограничения получаем $0 \leq \eta_i \leq C$, $0 \leq \lambda_i \leq C$.
Диапазон значений $\lambda_i$ (которые, как указано выше, соответствуют ограничениям на величину отступа) позволяет нам разделить объекты обучающей выборки на три типа:
# $\lambda_i = 0 \; \Rightarrow \; \eta_i = C; \; \xi_i = 0; \; M_i \geq 1 \;$ — периферийные (неинформативные) объекты <br> Эти объекты лежат в своём классе, классифицируются верно и не влияют на выбор разделяющей гиперплоскости (см. уравнение для $\vec{w}$)
# $0 < \lambda_i < C \; \Rightarrow \; 0 < \eta_i < C; \; \xi_i = 0; \; M_i = 1 \;$ — опорные граничные объекты <br> Эти объекты лежат ровно на границе разделяющей полосы на стороне своего класса
# $\lambda_i = C \; \Rightarrow \; \eta_i = 0; \; \xi_i > 0; \; M_i < 1 \;$ — опорные объекты-нарушители <br> Эти объекты лежат внутри разделяющей полосы или на стороне чужого класса
{{Определение
|definition=
'''Опорный объект''' (опорный вектор, англ. ''support vector'') — объект $\vec{x}_i$, соответствующий которому множитель Лагранжа отличен от нуля: $\lambda_i \neq 0$.
}}
Теперь подставим ограничения, которые мы получили при дифференцировании, в функцию Лагранжа. Получим следующую постановку двойственной задачи, которая зависит только от двойственных переменных $\lambda$:
$\begin{cases}
-\mathscr{L}(\lambda) = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^\ell \sum\limits_{j=1}^\ell \lambda_i \lambda_j y_i y_j \langle \vec{x}_i, \vec{x}_j \rangle \to \min\limits_\lambda \\
0 \leq \lambda_i \leq C, \quad i = 1, \ldots, \ell \\
\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0
\end{cases}$
Это также задача квадратичного программирования. Решение задачи лежит в пересечении $\ell$-мерного куба с ребром $C$ и гиперплоскости $\langle \lambda, y \rangle = 0$, что является выпуклым многогранником размерности $\ell-1$. В этом многограннике нужно найти минимум выпуклого квадратичного функционала. Следовательно, данная задача имеет единственное решение.
Существуют различные методы поиска решения: можно воспользоваться универсальным солвером задачи квадратичного программирования ([https://www.ibm.com/analytics/cplex-optimizer CPLEX], [http://www.gurobi.com/ Gurobi]), либо алгоритмом, учитывающим специфические особенности SVM ([https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ SMO], [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS]).
После того, как мы получили вектор коэффициентов $\vec{\lambda}$, можем выразить решение прямой задачи через решение двойственной:
$\begin{cases}
\vec{w} = \sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \vec{x}_i \\b = \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i, \quad \forall i: \lambda_i > 0, M_i = 1
\end{cases}$
На практике для повышения вычислительной устойчивости рекомендуется при расчёте $b$ брать медиану по опорным граничным объектам: $b =med\{ \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i : \lambda_i > 0, M_i =1, i = Kernel trick ===1, \ldots, \ell\}$ Теперь можем переписать наш линейный классификатор, выразив $\vec{w}$ через $\vec{\lambda}$:
$a(x) = sign \left(\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \langle \vec{x}_i, \vec{x} \rangle - b\right)$
=== Нелинейное обобщение, kernel trick ===
Существует ещё один подход к решению проблемы линейной разделимости, известный как трюк с ядром (kernel trick). Если выборка объектов с признаковым описанием из $X = \mathbb{R}^n$ не является линейно разделимой, мы можем предположить, что существует некоторое пространство $H$, вероятно, большей размерности, при переходе в которое выборка станет линейно разделимой. Пространство $H$ здесь называют спрямляющим, а функцию перехода $\psi : X \to H$ — спрямляющим отображением. Построение SVM в таком случае происходит так же, как и раньше, но в качестве векторов признаковых описаний используются векторы $\psi(\vec{x})$, а не $\vec{x}$. Соответственно, скалярное произведение $\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle$ в пространстве $X$ везде заменяется скалярным произведением $\langle \psi(\vec{x}_1), \psi(\vec{x}_2) \rangle$ в пространстве $H$. Отсюда следует, что пространство $H$ должно быть гильбертовым, так как в нём должно быть определено скалярное произведение. Обратим внимание на то, что постановка задачи и алгоритм классификации не используют в явном виде признаковое описание и оперируют только скалярными произведениями признаков объектов. Это даёт возможность заменить скалярное произведение в пространстве $X$ на [[Ядра|ядро]] — функцию, являющуюся скалярным произведением в некотором $H$. При этом можно вообще не строить спрямляющее пространство в явном виде, и вместо подбора $\psi$ подбирать непосредственно ядро. Постановка задачи с применением ядер приобретает вид: $\begin{cases}-\mathscr{L}(\lambda) = -\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^\ell \sum\limits_{j=1}^\ell \lambda_i \lambda_j y_i y_j \color{brown}{K(\vec{x}_i, \vec{x}_j)} \to \min\limits_\lambda \\0 \leq \lambda_i \leq C, \quad i = 1, \ldots, \ell \\\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i = 0\end{cases}$ $a(x) = sign \left(\sum\limits_{i=1}^\ell \lambda_i y_i \color{brown}{K(\vec{x}_i, \vec{x})} - b\right)$ == Преимущества и недостатки SVM == Преимущества SVM перед методом стохастического градиента и нейронными сетями: * Задача выпуклого квадратичного программирования хорошо изучена и имеет единственное решение.* Метод опорных векторов эквивалентен двухслойной нейронной сети, где число нейронов на скрытом слое определяется автоматически как число опорных векторов.* Принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости приводит к максимизации ширины разделяющей полосы, а следовательно, к более уверенной классификации. Недостатки классического SVM: * Неустойчивость к шуму: выбросы в задаче регрессии исходных данных становятся опорными объектами-нарушителями и напрямую влияют на построение разделяющей гиперплоскости.* Не описаны общие методы построения ядер и спрямляющих пространств, наиболее подходящих для конкретной задачи.* Нет отбора признаков.* Необходимо подбирать константу $C$ при помощи кросс-валидации. == Модификации == Существуют различные дополнения и модификации метода опорных векторов, направленные на устранение описанных недостатков: * [http://jmlr.csail.mit.edu/papers/v1/tipping01a.html Метод релевантных векторов (Relevance Vector Machine, RVM)]* [https:/ TODO/papers.nips.cc/paper/2450-1-norm-support-vector-machines.pdf 1-norm SVM (LASSO SVM)]* [http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A16n214.pdf Doubly Regularized SVM (ElasticNet SVM)]* [https://arxiv.org/abs/1901.09643v1 Support Features Machine (SFM)]* [http://www.robots.ox.ac.uk/~minhhoai/papers/SVMFeatureWeight_PR.pdf Relevance Features Machine (RFM)] ==Примеры кода=====Пример на языке Java===Пример классификации с применением <code>smile.classification.SVM</code><ref>[https://haifengl.github.io/smile/api/java/smile/classification/SVM.html/ Smile, SVM]</ref> <code>Maven</code> зависимость: <dependency> <groupId>com.github.haifengl</groupId> <artifactId>smile-core</artifactId> <version>1.5.2</version> </dependency> '''import''' smile.classification.SVM; '''import''' smile.data.NominalAttribute; '''import''' smile.data.parser.DelimitedTextParser; '''import''' smile.math.kernel.GaussianKernel; '''import''' java.util.Arrays; <font color="green">// read train & test dataset</font> '''var''' parser = new DelimitedTextParser(); parser.setResponseIndex(new NominalAttribute("class"), 0); '''var''' train = parser.parse("USPS Train", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.train")); '''var''' test = parser.parse("USPS Test", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.test")); '''var''' classes = Arrays.stream(test.labels()).max().orElse(0) + 1; <font color="green">// build SVM classifier</font> '''var''' svm = new SVM<>(new GaussianKernel(8.0), 5.0, classes, SVM.Multiclass.ONE_VS_ONE); svm.learn(train.x(), train.labels()); svm.finish(); <font color="green">// calculate test error rate</font> '''var''' error = 0; for (int i = 0; i < test.x().length; i++) { if (svm.predict(test.x()[i]) != test.labels()[i]) { error++; } } System.out.format("USPS error rate = %.2f%%\n", 100.0 * error / test.x().length); === Пример на языке R ==={{Main|Примеры кода на R}} <font color="gray"># importing package and its' dependencies</font> library(caret) <font color="gray">#reading data</font> data <- read.csv(<font color="green">"input.csv"</font>, <font color="#660099">sep</font> = <font color="green">','</font>, <font color="#660099">header</font> = FALSE) <font color="gray"># splitting data into train and test sets</font> index <- createDataPartition(<font color="#660099">y</font> = data$<strong><font color="#660E7A">target</font></strong>, <font color="#660099">p</font> = <font color="blue">0.8</font>, <font color="#660099">list</font> = FALSE) training <- data[index,] testing <- data[-index,] <font color="gray"># evaluating model</font> fit <- train(target ~ x + y + z, <font color="#660099">data</font> = train_flats, <font color="#660099">method</font> = <font color="green">"svmRadial"</font>, <font color="#660099">trControl</font> = trainControl(<font color="#660099">method</font> = <font color="green">"repeatedcv"</font>, <font color="#660099">number</font> = <font color="blue">10</font>, <font color="#660099">repeats</font> = <font color="blue">3</font>)) <font color="gray"># printing parameters</font> print(fit)
== См. также ==
* [[Общие понятия]]
* [[Ядра]]
* [[Обзор библиотек для машинного обучения на Python]]
== Примечания ==
== Источники информации ==
* [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 machinelearning.ru {{---}} — Машина опорных векторов]* [https://www.youtube.com/watch?v=Adi67_94_gc&list=PLJOzdkh8T5kp99tGTEFjH_b9zqEQiiBtC&index=5 Лекция "Линейные методы классификации: метод опорных векторов"] {{---}} — К.В. Воронцов, курс "Машинное обучение" 2014* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 Wikipedia {{---}} — Метод опорных векторов]* Alexey Nefedov {{---}} — [https://svmtutorial.online/ Support Vector Machines: A Simple Tutorial]* John Platt {{---}} — [https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines]* Shai Fine, Katya Scheinberg — [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS: An Incremental Active Set Method for SVM]
[[Категория: Машинное обучение]]
[[Категория: Классификация]]
[[Категория: Регрессия]]
