Изменения

{{в разработке}}  '''Метод опорных векторов''' (англ. ''support vector machine'', ''SVM'') — один из наиболее популярных методов обучения, который применяется для решения задач классификации и регрессии. Основная идея метода заключается в построении гиперплоскости, разделяющей объекты выборки наиболее оптимальным способом. Алгоритм работает в предположении, что чем больше расстояние (зазор) между разделяющей гиперплоскостью и объектами разделяемых классов, тем меньше будет средняя ошибка классификатора.

Существуют различные методы поиска решения: можно воспользоваться универсальным солвером задачи квадратичного программирования ([[https://www.ibm.com/analytics/cplex-optimizer CPLEX]], [[http://www.gurobi.com/ Gurobi]]), либо алгоритмом, учитывающим специфические особенности SVM ([[https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ SMO]], [[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS]]).

b = \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i, \quad \text{для любого}\; forall i: \lambda_i > 0, M_i = 1

Существует ещё один подход к решению проблемы линейной разделимости, известный как трюк с ядом ядром (kernel trick). Если выборка объектов с признаковым описанием из $X = \mathbb{R}^n$ не является линейно разделимой, мы можем предположить, что существует некоторое пространство $H$, вероятно, большей размерности, при переходе в которое выборка станет линейно разделимой. Пространство $H$ здесь называют спрямляющим, а функцию перехода $\psi : X \to H$ — спрямляющим отображением. Построение SVM в таком случае происходит так же, как и раньше, но в качестве векторов признаковых описаний используются векторы $\psi(\vec{x})$, а не $\vec{x}$. Соответственно, скалярное произведение $\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle$ в пространстве $X$ везде заменяется скалярным произведением $\langle \psi(\vec{x}_1), \psi(\vec{x}_2) \rangle$ в пространстве $H$. Отсюда следует, что пространство $H$ должно быть гильбертовым, так как в нём должно быть определено скалярное произведение.

Обратим внимание на то, что постановка задачи и алгоритм классификации не используют в явном виде признаковое описание и оперируют только скалярными произведениями признаков объектов. Это даёт возможность заменить скалярное произведение в пространстве $X$ на скалярное произведение в $H$: {{Определение[[Ядра|definition='''Ядро''' (англ. ''kernel'') ядро]] — функция $K: X \times X \to \mathbb{R}$функцию, которая является являющуюся скалярным произведением в некотором спрямляющем пространстве: $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \langle \psi(\vec{x}_1), \psi(\vec{x}_2) \rangle$ при некотором $\psi : X \to H$, где $H$ — пространство со скалярным произведением.}} Более того, При этом можно вообще не строить спрямляющее пространство $H$ в явном виде, и вместо подбора $\psi$ подбирать непосредственно ядро.

{{Теорема|id=kernel|author=Мерсер|statement=Функция $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2)$ является ядром тогда Преимущества SVM перед методом стохастического градиента и только тогда, когда выполнены условиянейронными сетями: <br><br>$\begin{cases}K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = K(\vec{x}_2, \vec{x}_1) & \text{(симметричность)} \\[1ex] \forall g: X \to \mathbb{R} \quad \int\limits_X \int\limits_X K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) g(\vec{x}_1) g(\vec{x}_2) d \vec{x}_1 d \vec{x}_2 \geq 0 & \text{(неотрицательная определенность)}\end{cases}$}}

Проверка неотрицательной определённости является довольно трудоёмкой, поэтому на практике теорема явно не используется* Задача выпуклого квадратичного программирования хорошо изучена и имеет единственное решение. Проблема выбора лучшего ядра на сегодняшний день остаётся открытой* Метод опорных векторов эквивалентен двухслойной нейронной сети, лучшие из известных на данный момент решений основываются где число нейронов на генетических алгоритмах<ref>[https://www.researchgate.net/publication/221080223_An_Evolutionary_Approach_to_Automatic_Kernel_Construction T.Howley, M.G.Madden — An Evolutionary Approach to Automatic Kernel Construction]</ref>). Обычно в практических реализациях ограничиваются перебором нескольких функций, про которые известно, что они являются ядрами, и выбирают среди них лучшую при помощи кросс-валидациискрытом слое определяется автоматически как число опорных векторов. Кроме того* Принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости приводит к максимизации ширины разделяющей полосы, существуют правила порождения ядера следовательно, которые также применяются для расширения пространства перебираемых функцийк более уверенной классификации.

Конструктивные * Неустойчивость к шуму: выбросы в исходных данных становятся опорными объектами-нарушителями и напрямую влияют на построение разделяющей гиперплоскости.* Не описаны общие методы синтеза построения ядер:и спрямляющих пространств, наиболее подходящих для конкретной задачи.* Нет отбора признаков.* Необходимо подбирать константу $C$ при помощи кросс-валидации.

# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle \quad$ (скалярное произведение)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \alpha \quad$ (константа $\alpha \in \mathbb{R}_+$)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) Модификации = K_1(\vec{x}_1, \vec{x}_2) + K_2(\vec{x}_1, \vec{x}_2) \quad$ (сумма ядер)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = K_1(\vec{x}_1, \vec{x}_2) * K_2(\vec{x}_1, \vec{x}_2) \quad$ (произведение ядер)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \psi(\vec{x}_1) * \psi(\vec{x}_2) \quad$ (произведение функций $\psi : X \to \mathbb{R}$)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = K_1(\phi(\vec{x}_1), \phi(\vec{x}_2)) \quad$ (композиция ядра и функции $\phi : X \to X$)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \int\limits_X s(\vec{x}_1, \vec{z}) s(\vec{x}_2, \vec{z}) d \vec{z} \quad$ ($s : X \times X \to \mathbb{R}$ — симметричная интегрируемая функция)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = f(K_1(\vec{x}_1, \vec{x}_2)) \quad$ ($f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ представима в виде сходящегося степенного ряда с неотрицательными коэффициентами)

Существует несколько "стандартных" ядер, которые соответствуют известным алгоритмам классификации* [http: * $K//jmlr.csail.mit.edu/papers/v1/tipping01a.html Метод релевантных векторов (\vec{x}_1Relevance Vector Machine, \vec{x}_2RVM) = ]* [https://papers.nips.cc/paper/2450-1-norm-support-vector-machines.pdf 1-norm SVM (\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle + cLASSO SVM)^d, \quad c, d \in \mathbb{R}$ — полиномиальное ядро]* $K[http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A16n214.pdf Doubly Regularized SVM (\vec{x}_1, \vec{x}_2ElasticNet SVM) = \sigma]* [https://arxiv.org/abs/1901.09643v1 Support Features Machine (\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle)$ — нейросеть с заданной функцией активации $\sigma(z)$ (не при всех $\sigma$ является ядромSFM)]* $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \exp(-\beta \lVert \vec{x}_1 - \vec{x}_2 \rVert^2)$ — сеть радиальных базисных функций [http://www.robots.ox.ac.uk/~minhhoai/papers/SVMFeatureWeight_PR.pdf Relevance Features Machine (англ. ''RBF''RFM) == Преимущества и недостатки SVM == Преимущества SVM перед методом стохастического градиента и нейронными сетями:]

* Задача выпуклого квадратичного программирования хорошо изучена и имеет единственное решение==Примеры кода==* Метод опорных векторов эквивалентен двухслойной нейронной сети, где число нейронов ===Пример на скрытом слое определяется автоматически как число опорных векторовязыке Java===* Принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости приводит к максимизации ширины разделяющей полосы, а следовательноПример классификации с применением <code>smile.classification.SVM</code><ref>[https://haifengl.github.io/smile/api/java/smile/classification/SVM.html/ Smile, к более уверенной классификацииSVM]</ref>

Недостатки классического SVM<code>Maven</code> зависимость: <dependency> <groupId>com.github.haifengl</groupId> <artifactId>smile-core</artifactId> <version>1.5.2</version> </dependency>

<font color="green">// read train & test dataset</font> '''var''' parser = Модификации new DelimitedTextParser(); parser.setResponseIndex(new NominalAttribute("class"), 0); '''var''' train =parser.parse("USPS Train", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.train")); '''var''' test =parser.parse("USPS Test", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.test")); '''var''' classes = Arrays.stream(test.labels()).max().orElse(0) + 1; <font color="green">// build SVM classifier</font> '''var''' svm = new SVM<>(new GaussianKernel(8.0), 5.0, classes, SVM.Multiclass.ONE_VS_ONE); svm.learn(train.x(), train.labels()); svm.finish(); <font color="green">// calculate test error rate</font> '''var''' error = 0; for (int i = 0; i < test.x().length; i++) { if (svm.predict(test.x()[i]) != test.labels()[i]) { error++; } } System.out.format("USPS error rate = %.2f%%\n", 100.0 * error / test.x().length);

Существуют различные дополнения и модификации метода опорных векторов, направленные === Пример на устранение описанных недостатков:языке R ==={{Main|Примеры кода на R}}

* [[Метод релевантных векторов <font color="gray"># importing package and its' dependencies</font> library(caret) <font color="gray">#reading data</font> data <- read.csv(Relevance Vector Machine<font color="green">"input.csv"</font>, <font color="#660099">sep</font> = <font color="green">', RVM'</font>, <font color="#660099">header</font> = FALSE)]]* [[1 <font color="gray"># splitting data into train and test sets</font> index <-norm SVM createDataPartition(LASSO SVM<font color="#660099">y</font> = data$<strong><font color="#660E7A">target</font></strong>, <font color="#660099">p</font> = <font color="blue">0.8</font>, <font color="#660099">list</font> = FALSE) training <- data[index,] testing <- data[-index,]* [[Doubly Regularized SVM <font color="gray"># evaluating model</font> fit <- train(ElasticNet SVM)]]target ~ x + y + z, <font color="#660099">data</font> = train_flats, <font color="#660099">method</font> = <font color="green">"svmRadial"</font>,* [[Support Features Machine <font color="#660099">trControl</font> = trainControl(SFM<font color="#660099">method</font> = <font color="green">"repeatedcv"</font>, <font color="#660099">number</font> = <font color="blue">10</font>, <font color="#660099">repeats</font> = <font color="blue">3</font>)]]) <font color="gray"># printing parameters</font>* [[Relevance Features Machine print(RFMfit)]]

* [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 machinelearning.ru {{---}} — Машина опорных векторов]* [https://www.youtube.com/watch?v=Adi67_94_gc&list=PLJOzdkh8T5kp99tGTEFjH_b9zqEQiiBtC&index=5 Лекция "Линейные методы классификации: метод опорных векторов"] {{---}} — К.В. Воронцов, курс "Машинное обучение" 2014* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 Wikipedia {{---}} — Метод опорных векторов]* Alexey Nefedov {{---}} — [https://svmtutorial.online/ Support Vector Machines: A Simple Tutorial]* John Platt {{---}} — [https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines]* Shai Fine, Katya Scheinberg — [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS: An Incremental Active Set Method for SVM]