Изменения

{{Задача|definition == Постановка задачи == Рассмотрим следующую задачу: «Дано Дано две квадратных матрицы <tex>A_{[n \times n]}</tex> и <tex>B_{[n \times n]}</tex>, состоящие из нулей и единиц. Нужно найти их произведение. При этом, все операции выполняются по модулю <tex>2</tex>.»}}</noinclude><includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|<div style="background-color: #fcfcfc; float:left;"><div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div><div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div></div>|<table border="0" width="100%"><tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr><tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr></table>}}</includeonly>

Если мы будем считать произведение матриц <tex>C = A \cdot B</tex> по определению(<tex dpi=140130>\left(c_{i, j} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{i,k}b_{k,j}\right)</tex>), то трудоёмкость сложность работы алгоритма составит <tex>O(n^3)</tex> {{---}} каждый из <tex>n^2</tex> элементов результирующей матрицы <tex>C</tex> вычисляется за время, пропорциональное <tex>n</tex>.

Теперь, если вместо произведения матриц <tex>A</tex> и <tex>B</tex> считать произведение новых матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex>, воспользовавшись посчитанными скалярными произведениями, то каждый элемент матрицы <tex>C</tex> будет получаться уже за время, пропорциональное <tex>\lceil \frac nk dfrac{n}{k} \rceil</tex> вместо <tex>n</tex>, и время произведения матриц сократится с <tex>O(n^3)</tex> до <tex dpi=140>O(n^2 \cdot\frac dfrac nk) = O(\fracdfrac{n^3}{k}) </tex>.

== Оценка трудоёмкости сложности алгоритма и выбор k ==[[Файл:exampleFourRussiansAlgoFinalPicture.png|500px|right]]

Оценим трудоёмкость асимптотику данного алгоритма.

* Создание матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex>.* Перемножение полученных матриц {{---}} <tex dpi>O(\dfrac{n^3}{k})</tex>. Итого: <tex>O(2^{2k}k) + O(\dfrac{n^3}{k})</tex>.Выбрав <tex>k =140\log n </tex>, получаем требуемую асимптотику <tex>O(n^2 \fraclog n) + O(\dfrac{n^3}{k\log n}) = O(\dfrac{n^3}{\log n})</tex> == Пример работы алгоритма == Рассмотрим работу алгоритма на примере перемножения двух матриц <tex> A </tex> и <tex> B </tex>, где  <tex> A = </tex><tex>\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)</tex>, <tex> B = </tex><tex>\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right)</tex>

Итого: <tex>O(2^{2k}k) + O(= \frac{log_2 n^3}{k})= \log_2 4 = 2</tex>.Приведем анализ выбора числа <tex>k</tex> для получения оптимальной сложности алгоритма., то предподсчитаем все скалярные произведения:

В силу возрастания функции Для удобства каждому битовому вектору будет соответствовать двоичное число с ведущими нулями, т.е. в данном случае имеем числа <tex>f(k) = 2^{2k}k00 </tex> и убывания функции , <tex>g(k) = \frac{n^3}{k}01 </tex> имеем, что сложность будет оптимальна при таком значении <tex>k10 </tex>, что <tex>f(k) = g(k)11 </tex>. Прологарифмируем обе части этого равенстваНиже приведена таблица, в которой записаны все искомые произведения:

<tex>k \ln 4 + begin{array}{|c|c|c|c|c|} \ln k= 3 hline & \ln n - textbf{00} & \ln ktextbf{01} & \textbf{10} & \textbf{11} \\ \hline \textbf{00} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \textbf{01} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \textbf{10} & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \textbf{11} & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline \end{array} </tex>

Согласно соглашению относительно битовых векторов и двоичных чисел получим новые матрицы <tex>k = \frac{3 \ln n - 2 \ln k}{\ln 4} A' </tex>и <tex> B' </tex>:

<tex> k A' = </tex><tex>\left(\begin{array}{cccc} 01 & 11 \\ 01 & 00 \\ 11 & 01 \\ 10 & 01 \end{array}\right)</tex>,<tex> B' = 3 </tex><tex>\left(\begin{array}{cccc} 10 & 00 & 01 & 11 \\ 10 & 01 & 10 & 01 \log_4 n - 2 end{array}\log_4 k right)</tex>

В силу того, что <tex> \log_4 k </tex> пренебрежительно мал Перемножим эти матрицы по сравнению модулю два с <tex> k </tex> имеем, что <tex> k </tex> с точностью до константы равен <tex> \log n </tex>использованием нашего предпосчета:

Таким образом, при подстановке <tex>k C = A' \log ntimes B' = </tex>, получаем итоговую трудоёмкость <tex dpi=140>O(n^2 \log n) + Oleft(\fracbegin{n^3array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\log n}) = O( 1 & 1 & 0 & 0 \fracend{n^3array}{\log n}right)</tex>== Код алгоритма ==<code>

Матрица <tex> C <// Предподсчёт скалярных произведений // Пусть precul[I][J] - "скалярное произведение для битовых представлений" чисел I и J k = log n for I = 0 to 2^k tex> {{- 1 do for J = 0 to 2^k - 1 do { Считаем скалярное произведение двоичных векторов, заданных двоичным представлением чисел I и J. Записываем результат в матрицу preculc. } // Создание сжатых матриц for I = 0 to n - 1 { для всех стартовых позиций start группы из k элементов { Представляем текущую двоичную последовательность в текущей строке матрицы A как десятичное число. Записываем полученное значение в A'. } } for J = 0 to n - 1 { для всех стартовых позиций start группы из k элементов { Представляем текущую двоичную последовательность в текущем столбце матрицы B как десятичное число. Записываем полученное значение в B'. } } //Перемножение полученных матриц for I = 0 to n - 1 do for J = 0 to n - 1 do { Считаем произведение I строки A' и J столбца B', пользуясь preculcискомая. Записываем полученное значение в матрицу ответа. }

</code>== Ссылки Источники информации ==* ''Gregory V. Bard'' — ''Accelerating Cryptanalysis with the Method of Four Russians''. July 22, 2006. Страница 5