Изменения
→Вещественное евклидово пространство
=Метрическое пространство=
<tex>21)\:f\rho(x,y)=f(0\Longleftrightarrow x,=y)</tex> - аксиома симметриитождества;
<tex>32)\:f\rho(x,y)+f=\rho(y,z)\geq f(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольникасимметрии;
<tex>3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)</tex> - аксиома(неравенство) треугольника;
}}
==Примеры==
1) Дискретная:<tex>
1,\: x\ne y\\
0,\: x=y
\end{array}\right\}</tex>
2) <tex>M=\mathbb{R}^{n}; \: f\rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|</tex> (по всем i)
=Нормированное пространство=
<tex>1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}</tex> - положительная определённость
<tex>3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert</tex>
}}
==Примеры==
<tex>X = \mathbb{R}^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}</tex>
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)
|proof= Очевидно, <tex>\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert</tex>
}}
=Вещественное псевдоевклидово пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - линейное пространство над <tex>\mathbb{R}</tex>. Пусть на <tex>E</tex> задана т.н. метрическая форма <tex>G(x,y)</tex>, такая, что выполняются три свойства:
<tex>1)G(x,y)</tex> - билинейная форма валентности (2;0) <tex>(x,y \in E)</tex>
<tex>2)G(x,y)=G(y,x)</tex> - симметричность
<tex>3)</tex> При <tex>x=0: G(x,y)=0</tex> при любых <tex>y \in E</tex> - невырожденность
Тогда <tex>E</tex> называется вещественным псевдоевклидовым пространством}}
==Примеры==
Пространство Минковского: <tex>E = \mathbb{R}^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}</tex>, где первая координата - временная, а остальные - пространственные;
<tex>\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}</tex> - не обязано быть положительным
=Вещественное евклидово пространство=
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>E</tex> - вещественное псевдоевклидово пространство, <tex>G(x,x)</tex> - положительно определённая, то есть <tex>G(x,x)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}</tex>. Тогда <tex>E</tex> - вещественное евклидово пространство.}}
==Примеры=
Пространство полиномов <tex>E = P_{n};</tex>
<tex>\left\langle p,q\right\rangle_{s} = \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt </tex>
{{Определение
|definition=
<tex>G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}</tex> называется скалярным произведением x и y (в E)}}
{{Определение
|definition=
<tex>\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}</tex> называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E}}
{{Лемма
|id=lemma1
|about=1
|statement=
Любое вещественное пространство является нормированным.
|proof= Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>x \in E</tex> называется нуль-вектором относительно метрики G, если <tex>\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0</tex>}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
