Метрические, нормированные и евклидовы пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
Строка 1: Строка 1:
{| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;"
 
|+
 
|-align="center"
 
|'''НЕТ ВОЙНЕ'''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|
 
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян.
 
 
Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием.
 
 
Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей.
 
 
Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить.
 
 
''Антивоенный комитет России''
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.
 
|-style="font-size: 16px;"
 
|[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки].
 
|}
 
 
 
=Метрическое пространство=
 
=Метрическое пространство=
 
{{Определение
 
{{Определение

Текущая версия на 19:15, 4 сентября 2022

Метрическое пространство

Определение:
Пусть [math]M[/math] - множество, тогда [math]M[/math] называется метрическим пространством, если на нём определена функция [math]\rho:\: M\times M\longrightarrow \mathbb{R}[/math] (расстояние), такая, что выполняются три аксиомы:

[math]1)\:\rho(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y[/math] - аксиома тождества;

[math]2)\:\rho(x,y)=\rho(y,x)[/math] - аксиома симметрии;

[math]3)\:\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq \rho(x,z)[/math] - аксиома(неравенство) треугольника;

Примеры

1) Дискретная:[math] \rho(x,y)=\left\{ \begin{array}{c} 1,\: x\ne y\\ 0,\: x=y \end{array}\right\}[/math]

2) [math]M=\mathbb{R}^{n}; \: \rho(x,y)=max\:|x_{i}-y_{i}|[/math] (по всем i)

Нормированное пространство

Определение:
Пусть [math]X[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{R}(\mathbb{C})[/math], тогда [math]X[/math] называется нормированным пространством, если на нём определена функция [math]\Vert\:\Vert: X\longrightarrow \mathbb{R}[/math] (норма), такая, что выполняются три свойства:

[math]1)\Vert x \Vert \geq 0; \Vert x \Vert = 0 \Leftrightarrow x = 0_{x}[/math] - положительная определённость

[math]2)\Vert \alpha x \Vert = | \alpha|\cdot \Vert x \Vert[/math]

[math]3)\Vert x+y \Vert \leq \Vert x \Vert+\Vert y \Vert[/math]

Примеры

[math]X = \mathbb{R}^{n}; \Vert x \Vert = \sqrt{\sum_{(i)}(x_{i})^{2}}[/math]

Лемма (1):
Любое нормированное пространство является метрическим(обратное не верно!)
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, [math]\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Вещественное псевдоевклидово пространство

Определение:
Пусть [math]E[/math] - линейное пространство над [math]\mathbb{R}[/math]. Пусть на [math]E[/math] задана т.н. метрическая форма [math]G(x,y)[/math], такая, что выполняются три свойства:

[math]1)G(x,y)[/math] - билинейная форма валентности (2;0) [math](x,y \in E)[/math]

[math]2)G(x,y)=G(y,x)[/math] - симметричность

[math]3)[/math] При [math]x=0: G(x,y)=0[/math] при любых [math]y \in E[/math] - невырожденность

Тогда [math]E[/math] называется вещественным псевдоевклидовым пространством

Примеры

Пространство Минковского: [math]E = \mathbb{R}^{4} = {x=(\xi^{0}, \xi^{1}, \xi^{2}, \xi^{3})}[/math], где первая координата - временная, а остальные - пространственные;

[math]\left\langle x,y\right\rangle = \xi^{0}\eta^{0}-\xi^{1}\eta^{1}-\xi^{2}\eta^{2}-\xi^{3}\eta^{3}[/math] - не обязано быть положительным

Вещественное евклидово пространство

Определение:
Пусть [math]E[/math] - вещественное псевдоевклидово пространство, [math]G(x,x)[/math] - положительно определённая, то есть [math]G(x,x)\ge0; G(x,x)=0 \Longleftrightarrow x = 0_{E}[/math]. Тогда [math]E[/math] - вещественное евклидово пространство.

=Примеры

Пространство полиномов [math]E = P_{n};[/math]

[math]\left\langle p,q\right\rangle_{s} = \int_{-1}^{1} p(t)q(t)dt [/math]


Определение:
[math]G(x,y)=\left\langle x,y\right\rangle_{G}[/math] называется скалярным произведением x и y (в E)


Определение:
[math]\Vert x\Vert_{G}=\sqrt{\left\langle x,x\right\rangle_{G}}[/math] называется нормой вектора в вещественном евклидовом пространстве E
Лемма (1):
Любое вещественное пространство является нормированным.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Очевидно, можно переписать для нового определения три свойства нормы.
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
[math]x \in E[/math] называется нуль-вектором относительно метрики G, если [math]\left\langle x,x\right\rangle_{G} = 0[/math]