Метрические пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(спааать)
Строка 103: Строка 103:
 
Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
 
Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.
  
 +
Метрические пространства удовлетворяют свойству нормальности:
  
 +
{{Утверждение
 +
|id=msnorm
 +
|about=
 +
нормальность МП
 +
|statement=
 +
Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.
 +
|proof=
 +
(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)
 +
 +
$ f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} $. Т.к. $ F_1 \cap F_2 = \varnothing $ и $ F_1, F_2 $ - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, $ f(x) $ корректна и непрерывна в силу непрерывности $ \rho $. При этом: $ x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 $. Рассмотрим на R пару интервалов: $ (- \infty; \frac 1 3) $ и $ (\frac 1 2, + \infty) $. Т.к. $ f(x) $ неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).
 +
: $ G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) $
 +
: $ F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing $, ч.т.д.
 +
}}
 +
 +
Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)
 +
 +
Классификация Бэра:
 +
 +
$A$ '''всюду плотно''' в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Cl} A = X$
 +
: Например, $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, так как $\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ (TODO:ох, что бы это значило)
 +
 +
Если всюду плотное множество счетно, то пространство называют '''сепарабельным'''.
 +
 +
$A$ '''нигде не плотно''' в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset$. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек $A$.
 +
: Например, $\mathbb{Z}$ нигде не плотно в $\mathbb{R}$.
 +
 +
$A$ имеет '''I категорию по Бэру''' если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.
 +
 +
{{Определение
 +
|id=defmscompl
 +
|definition=
 +
МП $(X, \rho)$ называется '''полным''', если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.
 +
}}
 +
 +
{{Утверждение
 +
|about=
 +
принцип вложенных шаров
 +
|statement=
 +
Пусть $(X, \rho)$ — полное. $\overline V_n$ — замкнутые шары. $\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$, $r_n \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$, и является точкой.
 +
|proof=
 +
Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n$, то есть последовательность центров сходится в себе, так как $r_n \to 0$. Тогда по полноте последовательность центров сходится к $a$, множество $\{a\}$ и есть искомое перечечение.
 +
 +
TODO: интересно, а почему важна замкнутость?
 +
}}
  
  
 
</wikitex>
 
</wikitex>

Версия 05:32, 30 декабря 2012

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы
  1. [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math]
  2. [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math]
  3. [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника
Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.


Некоторые примеры метрических пространств:

  • [math]X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |[/math]
  • [math]X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}[/math]
  • [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. [math] x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \rho(x_n, x) \to 0[/math]. TODO: к чему это? Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math]. Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
    • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
    • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики в обратную сторону очевидно, в прямую хз TODO
    • вторая аксиома: еще очевиднее
    • третья аксиома: рассмотрим [math]f(t) = {t \over 1 + t}[/math]. Так как [math]f[/math] выпукла вверх, [math]f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)[/math], то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
    Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
  • В любом пространстве [math]X[/math] можно ввести дискретную метрику: [math]\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}[/math]. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
  • [math]X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}[/math], то есть множество всех функций из [math][0; 1][/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO: почему??)

Центральную роль в изучении МП играют шары:

Определение:
Открытым шаром в МП [math](X, \rho)[/math] с радиусом [math]r[/math] и центром в [math]a[/math] называют множество [math]V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) \lt r \} [/math]. В определении замкнутого шара знак [math]\lt [/math] заменяется на [math]\le[/math].


На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.


Определение:
Для некоторого множества [math]X[/math], класс множеств [math]\tau[/math] называется топологией, если:
  1. [math] X, \emptyset \in \tau[/math]
  2. Любое объединение (возможно, несчетное) [math]\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math]
  3. Любое конечное пересечение [math]\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math]
Пару [math](X, \tau)[/math] называют топологическим пространством. Множества, принадлежащие [math]\tau[/math] называются открытыми. (по Хаусдорфу ???). Замкнутыми называются множества-дополнения к множествам из [math]\tau[/math].


Определение:
Рассмотрим множество [math]A \subset X[/math].

Внутренностью (interior) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G[/math], где [math] G [/math] — открытые множества.

Замыкание (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества.

Границей (boundary, frontier) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A[/math].


ВНИМАНИЕ, ВИКИТЕХ <wikitex>

Определение:
Точка $x$ называется пределом последовательности $x_n$ в топологическом пространстве' $(X, \tau)$, если $\forall G \ni x \exists N \forall n > N: x_n \in G$, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.


Определение:
Множество $U$ называет окрестностью в ТП, если существует открытое $G$: $x \in G \subset U$.


Определение:
Отображение $f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ называют непрерывным в точке $x \in X$, если для любой окрестности $U_{f(x)}$ существует окрестность $U_x$: $f(U_x) \subset U_{f(x)}$.


Характеристика непрерывных отображений ТП: $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда для любого $G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в конспекте только в прямую сторону, но вообще вроде это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107)

Рассмотрим МП $(X, \rho)$, выделим в семейство открытых множеств множества, являющимися объединениями любого (TODO счетного/несчетного??) числа открытых шаров. Покажем, что это удовлетворяет аксиомам ТП:

  1. Очевидно (видимо, $X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)$, где $x$ — любая точка $X$ если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества)
  2. Очевидно (TODO: а по-моему, не очень очевидно, как показать, что несчетное объединение несчетных/счетных объединений шаров — просто несчетное объединение шаров?)
  3. Докажем для пересечения двух, дальше по индукции:
    $G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup V') \bigcap (\bigcup V) = \bigcup (V' \bigcap V)$. (TODO: интересно, почему можно так сделать)
    Рассмотрим $V' \bigcap V$: $\forall x \in V' \bigcap V \exists V(x) \subset V' \bigcap V$ (раньше когда-то доказывали), тогда $V' \bigcap V = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V} V(x)$ (TODO: опять же, интересно, почему счетное/несчетное объединение несчетного числа шаров — счетное/несчетное объединение шаров)

В данном случае открытые множества были получены объединением открытых шаров — множеств более узкого класса. Это один из общих приемов превращения произвольного пространства в топологическое, открытые шары здесь — база топологии.


Определение:
Базой топологии называют... TODO пщщ в конспекте какая-то хрень


Утверждение:
$\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$, где $\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, y)$.

TODO: какое-то странное вспомогательное утверждение про непрерывность

TODO: ааа, ниче не понятно. Кажется, доказательство через включение в обе стороны.

Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны.

Метрические пространства удовлетворяют свойству нормальности:

Утверждение (нормальность МП):
Любое МП - нормальное, то есть любые два непересекающихся замкнутых подмножества имеют непересекающиеся окрестности.
[math]\triangleright[/math]

(скопировано из первого курса, в Колмогорове на странице 112 есть доказательство поприятнее и поинтуитивнее)

$ f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} $. Т.к. $ F_1 \cap F_2 = \varnothing $ и $ F_1, F_2 $ - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, $ f(x) $ корректна и непрерывна в силу непрерывности $ \rho $. При этом: $ x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 $. Рассмотрим на R пару интервалов: $ (- \infty; \frac 1 3) $ и $ (\frac 1 2, + \infty) $. Т.к. $ f(x) $ неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).

$ G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) $
$ F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing $, ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)

Классификация Бэра:

$A$ всюду плотно в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Cl} A = X$

Например, $\mathbb{Q}$ всюду плотно в $\mathbb{R}$, так как $\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}$ (TODO:ох, что бы это значило)

Если всюду плотное множество счетно, то пространство называют сепарабельным.

$A$ нигде не плотно в $(X, \rho)$, если $\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \emptyset$. В смысле метрических пространств это значит, что в любом шаре есть шар, не содержащий точек $A$.

Например, $\mathbb{Z}$ нигде не плотно в $\mathbb{R}$.

$A$ имеет I категорию по Бэру если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.


Определение:
МП $(X, \rho)$ называется полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность сходится.


Утверждение (принцип вложенных шаров):
Пусть $(X, \rho)$ — полное. $\overline V_n$ — замкнутые шары. $\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$, $r_n \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$, и является точкой.
[math]\triangleright[/math]

Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $\forall m > n: \rho(a_n, a_m) < r_n$, то есть последовательность центров сходится в себе, так как $r_n \to 0$. Тогда по полноте последовательность центров сходится к $a$, множество $\{a\}$ и есть искомое перечечение.

TODO: интересно, а почему важна замкнутость?
[math]\triangleleft[/math]


</wikitex>