Метрические пространства — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Определение |id=def1 |definition= Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \righta...»)
 
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|id=def1
+
|id=defms
 
|definition=
 
|definition=
 
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
 
Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
Строка 12: Строка 12:
 
Некоторые примеры метрических пространств:
 
Некоторые примеры метрических пространств:
  
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>
 
 
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>
 
* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>
 
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
 
* <tex>X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}</tex>
Строка 21: Строка 20:
 
** третья аксиома: рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. Так как <tex>f</tex> выпукла вверх, <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
 
** третья аксиома: рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. Так как <tex>f</tex> выпукла вверх, <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
 
*: Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
 
*: Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
 +
* В любом пространстве <tex>X</tex> можно ввести дискретную метрику: <tex>\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}</tex>. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
 +
* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>[0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO: почему??)
 +
 +
Центральную роль в изучении МП играют шары:
 +
{{Определение
 +
|id=defob
 +
|definition=
 +
'''Открытым шаром''' в МП <tex>(X, \rho)</tex> с радиусом <tex>r</tex> и центром в <tex>a</tex> называют множество <tex>V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) < r \} </tex>. В определении '''замкнутого шара''' знак <tex><</tex> заменяется на <tex>\le</tex>.
 +
}}
 +
 +
На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.
 +
 +
{{Определение
 +
|id=defts
 +
|definition=
 +
Для некоторого множества <tex>X</tex>, класс множеств <tex>\tau</tex> называется '''топологией''', если:
 +
# <tex> X, \empty \in \tau</tex>
 +
# Любое объединение (возможно, несчетное) <tex>\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
 +
# Любое конечное пересечение <tex>\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i</tex> из <tex>\tau</tex> принадлежит <tex>\tau</tex>
 +
Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex> называются '''открытыми'''. (по Хаусдорфу ???). '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.
 +
}}
 +
 +
{{Определение
 +
|id=defint
 +
|definition=
 +
Рассмотрим множество <tex>A \subset X</tex>.
 +
 +
'''Внутренностью''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G</tex>, где <tex> G </tex> — открытые множества.
 +
 +
'''Внутренностью''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.
 +
 +
'''Границей'''??? множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A</tex>.
 +
}}

Версия 00:02, 30 декабря 2012

Определение:
Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы
  1. [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math]
  2. [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math]
  3. [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника
Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.


Некоторые примеры метрических пространств:

  • [math]X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |[/math]
  • [math]X = \mathbb{R}^n, \rho(\overline x, \overline y) = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}[/math]
  • [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. [math] x = \lim\limits_{n \to \infty} x_n \overset{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow} \rho(x_n, x) \to 0[/math]. TODO: к чему это? Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math]. Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
    • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
    • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики в обратную сторону очевидно, в прямую хз TODO
    • вторая аксиома: еще очевиднее
    • третья аксиома: рассмотрим [math]f(t) = {t \over 1 + t}[/math]. Так как [math]f[/math] выпукла вверх, [math]f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)[/math], то есть все три аксиомы выполняются. TODO: ШТО? Почему?(
    Сходимость в этой метрике эквивалентна покоординатной (TODO: почему?).
  • В любом пространстве [math]X[/math] можно ввести дискретную метрику: [math]\rho(x, y) = \begin{cases} 0; & x = y \\ 1; & x \ne y \end{cases}[/math]. Заметим, что в дискретной метрике сходятся только стационарные последовательности.
  • [math]X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}[/math], то есть множество всех функций из [math][0; 1][/math] в [math]\mathbb{R}[/math]. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO: почему??)

Центральную роль в изучении МП играют шары:

Определение:
Открытым шаром в МП [math](X, \rho)[/math] с радиусом [math]r[/math] и центром в [math]a[/math] называют множество [math]V_r(a) = \{ x \mid \rho(x, a) \lt r \} [/math]. В определении замкнутого шара знак [math]\lt [/math] заменяется на [math]\le[/math].


На базе этих множеств можно МП превратить в ТП.


Определение:
Для некоторого множества [math]X[/math], класс множеств [math]\tau[/math] называется топологией, если:
  1. [math] X, \empty \in \tau[/math]
  2. Любое объединение (возможно, несчетное) [math]\bigcup\limits_{\alpha} G_{\alpha}[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math]
  3. Любое конечное пересечение [math]\bigcap\limits_{i=1}^{n} G_i[/math] из [math]\tau[/math] принадлежит [math]\tau[/math]
Пару [math](X, \tau)[/math] называют топологическим пространством. Множества, принадлежащие [math]\tau[/math] называются открытыми. (по Хаусдорфу ???). Замкнутыми называются множества-дополнения к множествам из [math]\tau[/math].


Определение:
Рассмотрим множество [math]A \subset X[/math].

Внутренностью множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Int} A = \bigcup\limits_{G \subset A} G[/math], где [math] G [/math] — открытые множества.

Внутренностью множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества.

Границей??? множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Fr} A = \mathrm{Cl} A \setminus \mathrm{Int} A[/math].