497
правок
Изменения
→Пересадка формы из E* в E
__TOC__
==Метрический тензор==
{{Определение
|definition=
Рассмотрим <tex> \{\tilde{e_i}\}_{i=1}^{n}</tex> {{---}} не ОРТН базис: <tex>\left\langle x,y\right\rangle=\sum\limits_{i,k=1}^{n} \xi^i \overline{\tilde{\eta}^k}</tex><br>
<tex>\left\langle \tilde{e_i},\tilde{e_k}\right\rangle=g_{ik}=\sum\limits_{i,k=1}^{n} g_{ik}\xi^i \overline{\eta^k}</tex> <br>
<tex>g_{ik}</tex> называют '''метрическим тензором'''.
}}
==Естественный изоморфизм евклидова пространства и его сопряжённого==
}}
{{Теорема
|statement=Формула <tex>(*): \left\langle x,y\right\rangle = (f;y); \forall y \in E</tex> определяет обратимый линейный оператор <tex>\mathcal{G}: E \Longrightarrow longrightarrow E^*</tex> т.е. <tex>(\mathcal{G}\cdot x=f); \; \exists \mathcal{G}^{-1}: E^* \Longrightarrow longrightarrow E</tex> т.е. <tex>(\mathcal{G}^{-1}\cdot f=x)</tex>
}}
Изоморфизм конечномерного Евклидова пространства и его сопряженного является естественным изоморфизмом.
|about = 2
|statement= <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=\left\langle e_i;e^k\right\rangle = \delta^k_i</tex>;
|proof= <tex>\left\langle e^k;y\right\rangle = (f^k;y); \forall y \in E</tex> <br>Пусть <tex>y=e_i</tex>, тогда <tex>\left\langle e^k;e_i\right\rangle=(f^k;e_i)=\delta^k_i</tex>
Рассмотрим <tex>\left\langle e_i;e^k\right\rangle=\overline{\left\langle e^k;e_i\right\rangle}=\overline{\delta^k_i} = \delta^k_i</tex>
}}
