689
правок
Изменения
м
{{В разработке}}[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
Простым языкомПростыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то для любой точки из их пересечения существует открытый шар, лежащий в их пересечениии содержащий эту точку.
Замечание: для X = R это очевидноПусть <tex> y \in V_{r}(переcечение двух интервалов есть интервалb).</tex>
: Пусть Для <tex> y \in V_{rr_1}(b)</tex>: <tex> \rho (b, a_ja_1) < r_j, j = 1,2 r_1</tex>: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_ja_1) < r_j, j = 1,2.r_1 </tex># : <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex># Для <tex> V_{r_2} </tex>: <tex> \rho (b, a_2) < r_2</tex>: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_2) < r_2 </tex>: <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>: <tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
<tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>
<tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = x: \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>
, то Тогда в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа.
запоздалый багфикс
==Метрика и метрическое пространство==
Пусть <tex>X — </tex> {{---}} абстрактное [[Множества|множество]].
<tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> — {{---}} прямое произведение множества <tex>X </tex> на себя
{{Определение
|id=def1
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> — {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y </tex>
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> — {{---}} неравенство треугольника
}}
Если на <tex>X </tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется '''метрическим пространством''', аббревиатура — '{{---}} ''МП'''.
=== Примеры метрических пространств ===
Числовая ось: <tex> X = \mathbb{R}; x, y \in X \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| </tex>
<tex> X = \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R } \times \mathbb{R } \times \dots \times \mathbb{R}}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) </tex>
#<tex> \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| </tex>
#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex>
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
<tex>\ r\ </tex> в точке <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество <tex> V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
}} === Пример открытого шара === На числовой оси: <tex> X = \mathbb{R}: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
{{Определение
|definition=
Множество <tex>M \subset X</tex> '''ограничено''', если существуют <tex> a \in X </tex> и <tex> r \in (0; +\infty) </tex>, такие, что
<tex>M \subset V_r(a)</tex>. Иначе говоря, множество ограничено, если его можно поместить в открытый шар конечного радиуса.
}}
=== Свойства шаров ===
{{Теорема
Основное свойство шаров
|statement=
Пусть <tex> b \in V_{r1r_1}(a_1) \cap V_{r2r_2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r1r_1}(a_1) \cap V_{r2r_2}(a_2)</tex> <br \>
|proof=
Замечание: для <tex>X = \mathbb{R}</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).
}}
Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
: <tex> \tau </tex> — класс открытых множеств.
: <tex> \tau = \{ G </tex> = { G — {---}} открытые в МП <tex>(X, \rho)\}</tex> }
}}
===Свойства открытых множеств ===
# <tex> X, \varnothing \in \tau </tex> {{---}} все пространство и пустое множество открыты
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \in \tau </tex> — очевидно
# <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex>
Доказательство свойства 3:
: Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для <tex>n</tex> множеств.
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
: По основному свойству шаров : <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta </tex>
: Следовательно <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> {{---}} объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> {{---}} тоже объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau</tex> по 2 свойству.
Класс <tex> \tau </tex> называется (метрической) топологией на множестве <tex>X</tex>.
Если в <tex>X </tex> выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то пара <tex>(X, \tau)</tex> называется '''топологическим пространством'''(ТП). В этом смысле МП {{---}} частный случай ТП.
== Замкнутые множества ==
{{Определение|definition=Множество <tex>F </tex> называется замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> {{--- }} открыто.}}
Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств <tex> \tau </tex> двойственен классу замкнутых множеств.
=== Свойства замкнутых множеств ===
# <tex> X, \varnothing </tex> {{---}} замкнуты
# Если <tex>\ F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто <tex>\forall \alpha \in A </tex>, то <tex>\bigcupbigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто # Если <tex>\ F_1 \dots F_n </tex> {{---}} замкнуты, то <tex> \Rightarrow \bigcapbigcup\limits_{j = 1}^n F_j </tex> {{---}} замкнуто
==Пределы(если кто знает, как адекватнее назвать, назовите)Предел в метрическом пространстве ==
{{Определение
|definition=
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если :# <tex>\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ </tex> , или # <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>: или: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex>
}}
{{Теорема
<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>
|proof=
<tex> \rho(x', x'') <= \leq \rho(x', xx_n) + \rho(x'', xx_n) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0; \Rightarrow x' = x'' </tex>
На самом деле, этот факт {{- --}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:'''(в конспектах везде "о делимости", но, погуглив, понятно что это бред)''' Пусть <tex> (X, \tau) </tex> {{--- }} ТП, тогда если <tex> \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :</tex>
# <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
# <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex>
Частный случай на МП:
}}
==Основное характеристическое свойство замкнутых множеств=={{Утверждение|about=В прямую сторону|statement=Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто, то оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей.<br>Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто <tex> \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>.|proof=<br />: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>: <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow F \cap V = \varnothing </tex>: <tex> x_n \rightarrow x : \forall \varepsilon > 0 \, \exists N \, \forall n > N : x_n \in V </tex> , что противоречит <tex> x_n \in F (F \cap V = \varnothing) \Rightarrow x \in F </tex>}} {{Утверждение|about=В обратную сторону|statement=Если множество <tex>F</tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто.<br>Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow\ F</tex> {{---}} замкнуто.|proof=Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Достаточно доказать, что <tex> G </tex> {{---}} открытое. Тогда <tex> F </tex> {{---}} [[Категория#Замкнутые множества|по определению]] замкнутое множество. Докажем от противного. Если <tex> G </tex> {{---}} открытое множество, то тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению {{---}} <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> {{---}} открытое множество), причём всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> {{---}} центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> {{---}} его радиус).<br>При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>. Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x):Математический анализ 1 курс]x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex> Запишем это формально: <tex> \forall r: F \cap V_r(x) \neq \varnothing</tex>. Определим следующие последовательности:: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V_{r_n}(x)) </tex>.: <tex> r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rightarrow x </tex>.Каждый <tex> x_n \in F, x_n \rightarrow x \Rightarrow \{ x_n \} </tex> {{---}} сходящаяся последовательность в <tex> F </tex>. Но, по предположению, <tex> F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит <tex> x \in F </tex>. Получили противоречие, значит <tex> G = \overline F </tex> {{---}} открытое множество, а значит <tex> F </tex> {{---}} замкнуто.}} == См. также ==[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Если интересно - аксиомы отделимости]
