689
правок
Изменения
м
запоздалый багфикс
{{Определение
|id=def1
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
Пусть <tex> b \in V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex> <br \>
Простыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то для любой точки из их пересечения существует открытый шар, лежащий в их пересечениии содержащий эту точку.
|proof=
Замечание: для <tex>X = \mathbb{R}</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).
Для <tex> V_{r_1} </tex>
: <tex> \rho (b, a_1) < r_1</tex>
: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_1) < r_1 </tex>
: <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>
Для <tex> V_{r_2} </tex>
: <tex> \rho (b, a_2) < r_2</tex>
: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_2) < r_2 </tex>
: <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>
<tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>
|proof=
<tex> \rho(x', x'') \leq \rho(x', xx_n) + \rho(x'', xx_n) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0 \Rightarrow x' = x'' </tex>
На самом деле, этот факт {{---}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:
