1679
правок
Изменения
м
Нет описания правки
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0</tex> , или
<tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>
}}
<tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>
<tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = x: \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>
{{Теорема
|about=
Единственность предела
|statement=
<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' <tex> в МП<tex>(X, \rho)</tex> \Rightarrow x' = x'' </tex>
|proof=
<tex> \rho(x', x'') <= \rho(x', x) + \rho(x'', x) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0; x' = x'' </tex>
На самом деле, этот факт - свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:'''(в конспектах везде "о делимости", но, погуглив, понятно что это бред)'''
Пусть <tex> (X, \tau) </tex> - ТП, <tex> a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau </tex>
# <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
# <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex> - в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа:
<tex> (X, \rho)
}}
