Метрическое пространство — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойства открытых множеств)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 37 промежуточных версий 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
 +
 
 
==Метрика и метрическое пространство==
 
==Метрика и метрическое пространство==
  
Пусть X — абстрактное множество.
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} абстрактное [[Множества|множество]].
  
<tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> &mdash; прямое произведение множества X на себя
+
<tex> X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} </tex> {{---}} прямое произведение множества <tex>X</tex> на себя
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=def1
 
|definition=
 
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> &mdash; называется '''метрикой''' на X, если выполняются аксиомы
+
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
 
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0  \iff x = y </tex>
 
# <tex> \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0  \iff x = y </tex>
 
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>  
 
# <tex> \rho (x, y) = \rho (y, x) </tex>  
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> &mdash; неравенство треугольника
+
# <tex> \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) </tex> {{---}} неравенство треугольника
 
}}
 
}}
  
Если на X определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется '''метрическим пространством''', аббревиатура &mdash; '''МП'''.
+
Если на <tex>X</tex> определена метрика, то пара <tex>(X, \rho)</tex> называется ''метрическим пространством'', аббревиатура {{---}} ''МП''.
  
=== Примеры ===
+
=== Примеры метрических пространств ===
  
 
Числовая ось: <tex> X = \mathbb{R}; x, y \in X \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| </tex>
 
Числовая ось: <tex> X = \mathbb{R}; x, y \in X \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| </tex>
  
<tex> X = R^n = \underbrace{R \times R \times \dots \times R}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) </tex>
+
<tex> X = \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) </tex>
 
#<tex> \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| </tex>
 
#<tex> \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| </tex>
 
#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex>
 
#<tex> \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| </tex>
Строка 34: Строка 36:
 
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
 
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{---}} метрическое пространство, пусть <tex>\ \ r \in \mathbb{R},\ r > 0,\ a \in X </tex>, тогда открытый шар радиуса
 
<tex>\ r\ </tex> в точке  <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество  <tex> V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
 
<tex>\ r\ </tex> в точке  <tex>\ a\ </tex> {{---}} это множество  <tex> V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) < r \} </tex>
}}  
+
}}
 
+
=== Пример открытого шара ===
=== Пример ===
+
На числовой оси: <tex> X = \mathbb{R}: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
 
 
<tex> X = R: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
 
  
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Множество <tex>M \subset X</tex> '''ограничено''', если существуют <tex> a \in X </tex> и <tex> r \in (0; +\infty) </tex>, такие, что
 +
<tex>M \subset V_r(a)</tex>. Иначе говоря, множество ограничено, если его можно поместить в открытый шар конечного радиуса.
 +
}}
 
=== Свойства шаров ===
 
=== Свойства шаров ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 45: Строка 50:
 
Основное свойство шаров
 
Основное свойство шаров
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex> b \in V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r1}(a_1) \cap V_{r2}(a_2)</tex> <br \>
+
Пусть <tex> b \in V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex> <br \>
  
Простым языком: Если два открытых шара пересекаются, то существует открытый шар, лежащий в их пересечении.
+
Простыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то для любой точки из их пересечения существует открытый шар, лежащий в пересечении и содержащий эту точку.
 
|proof=
 
|proof=
 +
Замечание: для <tex>X = \mathbb{R}</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).
  
Замечание: для X = R это очевидно(переcечение двух интервалов есть интервал).
+
Пусть <tex> y \in V_{r}(b)</tex>
  
: Пусть <tex> y \in V_{r}(b)</tex>
+
Для <tex> V_{r_1} </tex>
: <tex> \rho (b, a_j) < r_j, j = 1,2 </tex>
+
: <tex> \rho (b, a_1) < r_1</tex>
: <tex> \exists r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow  \rho (y, a_j) < r_j, j = 1,2.</tex>
+
: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow  \rho (y, a_1) < r_1 </tex>
# <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>
+
: <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>
# <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>
+
Для <tex> V_{r_2} </tex>
: <tex> r = min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара  
+
: <tex> \rho (b, a_2) < r_2</tex>
 +
: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow  \rho (y, a_2) < r_2 </tex>
 +
: <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>
 +
<tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара  
 
}}
 
}}
  
Строка 66: Строка 75:
 
Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
 
Множество <tex> G \subset X </tex> называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
 
: <tex> \tau </tex> &mdash; класс открытых множеств.  
 
: <tex> \tau </tex> &mdash; класс открытых множеств.  
: <tex> \tau </tex> = { G &mdash; открытые в МП <tex>(X, \rho)</tex> }
+
: <tex> \tau = \{ G </tex> {{---}} открытые в МП <tex>(X, \rho) \}</tex>
 
}}
 
}}
  
 
===Свойства открытых множеств ===
 
===Свойства открытых множеств ===
 
# <tex> X, \varnothing \in \tau </tex> {{---}} все пространство и пустое множество открыты
 
# <tex> X, \varnothing \in \tau </tex> {{---}} все пространство и пустое множество открыты
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} \in \tau </tex> &mdash; очевидно  
+
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \in \tau </tex> &mdash; очевидно  
 
# <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex>
 
# <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex>
  
 
Доказательство свойства 3:
 
Доказательство свойства 3:
 
+
: Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для <tex>n</tex> множеств.
 
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
 
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
 
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
 
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
: По основному свойству шаров : <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta </tex>
+
: По основному свойству шаров: <tex> b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta </tex>
 
: Следовательно <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> {{---}} объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> {{---}} тоже объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau</tex>  по 2 свойству.
 
: Следовательно <tex> V_{\alpha} \cap V_{\beta} </tex> {{---}} объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 </tex> {{---}} тоже объединение открытых шаров <tex> \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau</tex>  по 2 свойству.
  
Класс <tex> \tau </tex> называется (метрической) топологией на множестве X.
+
Класс <tex> \tau </tex> называется (метрической) топологией на множестве <tex>X</tex>.
  
Если в X выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то пара <tex>(X, \tau)</tex> называется '''топологическим пространством'''(ТП). В этом смысле МП {{---}} частный случай ТП.
+
Если в <tex>X</tex> выделен класс множеств <tex> \tau </tex>, удовлетворяющий всем трем свойствам, то пара <tex>(X, \tau)</tex> называется ''топологическим пространством''(ТП). В этом смысле МП {{---}} частный случай ТП.
  
==Замкнутое множество==
+
== Замкнутые множества ==
  
F является замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> - открыто.
+
{{Определение
 +
|definition=
 +
Множество <tex>F</tex> называется замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> {{---}} открыто.
 +
}}
  
Применяя закон де Моргана, видим что <tex> \tau </tex> двойственен классу замкнутых множеств.
+
Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств <tex> \tau </tex> двойственен классу замкнутых множеств.
  
Свойства замкнутых множеств:
+
=== Свойства замкнутых множеств ===
# <tex> X = \varnothing </tex> - замкнуто
+
# <tex> X, \varnothing </tex> {{---}} замкнуты
# <tex> F_{\alpha} </tex> - замкнуто, <tex> \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> - замкнуто  
+
# Если <tex>\ F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто <tex>\forall \alpha \in A </tex>, то <tex>\bigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто  
# <tex> F_1 \dots F_n </tex> - замкнуты <tex> \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n F_j </tex> - замкнуто
+
# Если <tex>F_1 \dots F_n </tex> {{---}} замкнуты, то <tex> \Rightarrow \bigcup\limits_{j = 1}^n F_j </tex> {{---}} замкнуто
  
==Пределы(если кто знает, как адекватнее назвать, назовите)==  
+
== Предел в метрическом пространстве ==  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0</tex> , или  
+
<tex> x_n \rightarrow x </tex> в МП <tex>(X, \rho)</tex>, если:
<tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>
+
# <tex>\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ </tex> , или
 +
# <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N \Rightarrow \rho(x_n, x) < \varepsilon </tex>
 +
: или
 +
: <tex>\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>, где <tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>, то есть открытый шар радиуса <tex>\ \varepsilon</tex> с центром в точке <tex>\ x</tex>
 
}}
 
}}
<tex> V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) < \varepsilon \} </tex>
 
 
<tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x_n = x: \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: x_n \in V_\varepsilon(x)</tex>
 
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 112: Строка 124:
 
<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>
 
<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>
 
|proof=
 
|proof=
<tex> \rho(x', x'') <= \rho(x', x) + \rho(x'', x) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0; x' = x'' </tex>
+
<tex> \rho(x', x'') \leq \rho(x', x_n) + \rho(x'', x_n) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0 \Rightarrow x' = x'' </tex>
  
На самом деле, этот факт - свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:'''(в конспектах везде "о делимости", но, погуглив, понятно что это бред)'''
+
На самом деле, этот факт {{---}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:
Пусть <tex> (X, \tau) </tex> - ТП, тогда если <tex> \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :</tex>  
+
 
 +
Пусть <tex> (X, \tau) </tex> {{---}} ТП, тогда если <tex> \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :</tex>  
 
# <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
 
# <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
 
# <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex>  
 
# <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex>  
, то в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа.
+
Тогда в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа.
  
 
Частный случай на МП:
 
Частный случай на МП:
Строка 124: Строка 137:
 
}}
 
}}
  
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
+
==Основное характеристическое свойство замкнутых множеств==
 +
{{Утверждение
 +
|about=
 +
В прямую сторону
 +
|statement=
 +
Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто, то оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей.<br>
 +
Если <tex>F</tex> {{---}} замкнуто <tex> \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>.
 +
|proof=<br />
 +
: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>
 +
: <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow F \cap V = \varnothing </tex>
 +
: <tex> x_n \rightarrow x : \forall \varepsilon > 0 \, \exists N \, \forall n > N : x_n \in V </tex> , что противоречит <tex> x_n \in F (F \cap V = \varnothing) \Rightarrow x \in F </tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|about=
 +
В обратную сторону
 +
|statement=
 +
Если множество <tex>F</tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто.<br>
 +
Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow\ F</tex> {{---}} замкнуто.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Достаточно доказать, что <tex> G </tex> {{---}} открытое. Тогда <tex> F </tex> {{---}} [[#Замкнутые множества|по определению]] замкнутое множество.
 +
 
 +
Докажем от противного.
 +
 
 +
Если  <tex> G </tex> {{---}} открытое множество, то тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению {{---}} <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> {{---}} открытое множество), причём всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> {{---}} центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> {{---}} его радиус).
 +
<br>При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.
 +
 
 +
Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex>
 +
 
 +
Запишем это формально: <tex> \forall r: F \cap V_r(x) \neq \varnothing</tex>.
 +
 
 +
Определим следующие последовательности:
 +
: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V_{r_n}(x)) </tex>.
 +
: <tex> r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rightarrow x </tex>.
 +
Каждый <tex> x_n \in F, x_n \rightarrow x \Rightarrow \{ x_n \} </tex> {{---}} сходящаяся последовательность в <tex> F </tex>. Но, по предположению, <tex> F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит <tex> x \in F </tex>. Получили противоречие, значит <tex> G = \overline F </tex> {{---}} открытое множество, а значит <tex> F </tex> {{---}} замкнуто.
 +
}}
 +
 
 +
== См. также ==
 +
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Если интересно - аксиомы отделимости]

Текущая версия на 19:07, 4 сентября 2022


Метрика и метрическое пространство

Пусть [math]X[/math] — абстрактное множество.

[math] X \times X = \{ (x_1, x_2): x_i \in X \} [/math] — прямое произведение множества [math]X[/math] на себя


Определение:
Отображение [math] \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы
  1. [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math]
  2. [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math]
  3. [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника


Если на [math]X[/math] определена метрика, то пара [math](X, \rho)[/math] называется метрическим пространством, аббревиатура — МП.

Примеры метрических пространств

Числовая ось: [math] X = \mathbb{R}; x, y \in X \Rightarrow \rho (x, y) = |x - y| [/math]

[math] X = \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}}_{n} ; \overrightarrow{x} = (x_1, \dots, x_n) [/math]

  1. [math] \rho_1 (x, y) = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k - y_k| [/math]
  2. [math] \rho_2 (x, y) = \max\limits_{k = 1 \dots n} |x_k - y_k| [/math]

То есть, одно и то же множество можно по-разному превращать в метрическое пространство.

Открытые шары

Для метрических пространств основное значение имеют открытые шары.


Определение:
Пусть [math] (X, \rho) [/math] — метрическое пространство, пусть [math]\ \ r \in \mathbb{R},\ r \gt 0,\ a \in X [/math], тогда открытый шар радиуса [math]\ r\ [/math] в точке [math]\ a\ [/math] — это множество [math] V_r(a) = \{x \in X| \rho(x, a) \lt r \} [/math]

Пример открытого шара

На числовой оси: [math] X = \mathbb{R}: V_r(a) = (a - r; a + r) [/math]


Определение:
Множество [math]M \subset X[/math] ограничено, если существуют [math] a \in X [/math] и [math] r \in (0; +\infty) [/math], такие, что [math]M \subset V_r(a)[/math]. Иначе говоря, множество ограничено, если его можно поместить в открытый шар конечного радиуса.

Свойства шаров

Теорема (Основное свойство шаров):
Пусть [math] b \in V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)[/math]. Тогда [math] \exists r \gt 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)[/math]
Простыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то для любой точки из их пересечения существует открытый шар, лежащий в пересечении и содержащий эту точку.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Замечание: для [math]X = \mathbb{R}[/math] это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).

Пусть [math] y \in V_{r}(b)[/math]

Для [math] V_{r_1} [/math]

[math] \rho (b, a_1) \lt r_1[/math]
[math] \exists ? r \gt 0: \rho (y, b) \lt r \Rightarrow \rho (y, a_1) \lt r_1 [/math]
[math] \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) \lt r_1 \Rightarrow \rho (y, b) \lt r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 \gt 0 [/math]

Для [math] V_{r_2} [/math]

[math] \rho (b, a_2) \lt r_2[/math]
[math] \exists ? r \gt 0: \rho (y, b) \lt r \Rightarrow \rho (y, a_2) \lt r_2 [/math]
[math] \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) \lt r_2 \Rightarrow \rho (y, b) \lt r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 \gt 0 [/math]
[math] r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) \lt r \Rightarrow y[/math] войдет в оба шара
[math]\triangleleft[/math]

Открытые множества

Определение:
Множество [math] G \subset X [/math] называется открытым в метрическом пространстве, если его можно записать как некоторое объединение открытых шаров (в общем случае объединение может состоять из несчетного числа шаров).
[math] \tau [/math] — класс открытых множеств.
[math] \tau = \{ G [/math] — открытые в МП [math](X, \rho) \}[/math]


Свойства открытых множеств

  1. [math] X, \varnothing \in \tau [/math] — все пространство и пустое множество открыты
  2. [math] G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \in \tau [/math] — очевидно
  3. [math] G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau [/math]

Доказательство свойства 3:

Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для [math]n[/math] множеств.
[math] G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} [/math]
[math] G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) [/math]
По основному свойству шаров: [math] b \in V_\alpha \cap V_\beta \Rightarrow \exists V(b) \subset V_\alpha \cap V_\beta [/math]
Следовательно [math] V_{\alpha} \cap V_{\beta} [/math] — объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 [/math] — тоже объединение открытых шаров [math] \Rightarrow G_1 \cap G_2 \in \tau[/math] по 2 свойству.

Класс [math] \tau [/math] называется (метрической) топологией на множестве [math]X[/math].

Если в [math]X[/math] выделен класс множеств [math] \tau [/math], удовлетворяющий всем трем свойствам, то пара [math](X, \tau)[/math] называется топологическим пространством(ТП). В этом смысле МП — частный случай ТП.

Замкнутые множества

Определение:
Множество [math]F[/math] называется замкнутым в МП[math](X, \rho)[/math], если [math] \overline F = X \backslash F [/math] — открыто.


Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств [math] \tau [/math] двойственен классу замкнутых множеств.

Свойства замкнутых множеств

  1. [math] X, \varnothing [/math] — замкнуты
  2. Если [math]\ F_{\alpha} [/math] — замкнуто [math]\forall \alpha \in A [/math], то [math]\bigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} [/math] — замкнуто
  3. Если [math]\ F_1 \dots F_n [/math] — замкнуты, то [math] \Rightarrow \bigcup\limits_{j = 1}^n F_j [/math] — замкнуто

Предел в метрическом пространстве

Определение:
[math] x_n \rightarrow x [/math] в МП [math](X, \rho)[/math], если:
  1. [math]\ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \rho(x_n, x) = 0\ [/math] , или
  2. [math]\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \gt N \Rightarrow \rho(x_n, x) \lt \varepsilon [/math]
или
[math]\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \gt N: x_n \in V_\varepsilon(x)[/math], где [math] V_\varepsilon(x) = \{ y: \rho(y, x) \lt \varepsilon \} [/math], то есть открытый шар радиуса [math]\ \varepsilon[/math] с центром в точке [math]\ x[/math]


Теорема (Единственность предела):
[math] x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' [/math] в МП[math](X, \rho) \Rightarrow x' = x'' [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \rho(x', x'') \leq \rho(x', x_n) + \rho(x'', x_n) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0 \Rightarrow x' = x'' [/math]

На самом деле, этот факт — свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:

Пусть [math] (X, \tau) [/math] — ТП, тогда если [math] \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :[/math]

  1. [math] G_1 \cap G_2 = \varnothing [/math]
  2. [math] a \in G_1; b \in G_2 [/math]

Тогда в таком ТП выполнима аксиома отделимости Хаусдорфа.

Частный случай на МП:

[math] (X, \rho), a \ne b, \rho(b, a) \gt 0: r = \frac 1 3 \rho(a, b); V_r(a) \cap V_r(b) = \varnothing [/math] , ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Основное характеристическое свойство замкнутых множеств

Утверждение (В прямую сторону):
Если [math]F[/math] — замкнуто, то оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей.
Если [math]F[/math] — замкнуто [math] \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F [/math].
[math]\triangleright[/math]


Пусть [math] x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V [/math]
[math] F \cap G = \varnothing \Rightarrow F \cap V = \varnothing [/math]
[math] x_n \rightarrow x : \forall \varepsilon \gt 0 \, \exists N \, \forall n \gt N : x_n \in V [/math] , что противоречит [math] x_n \in F (F \cap V = \varnothing) \Rightarrow x \in F [/math]
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (В обратную сторону):
Если множество [math]F[/math] содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто.
Если [math]\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow\ F[/math] — замкнуто.
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] G = \overline F [/math]. Достаточно доказать, что [math] G [/math] — открытое. Тогда [math] F [/math]по определению замкнутое множество.

Докажем от противного.

Если [math] G [/math] — открытое множество, то тогда каждый [math] y \notin F [/math] входит в [math] G [/math] вместе с каким-то открытым шаром (по определению — [math] G = \bigcup\limits_i V_i [/math] — открытое множество), причём всегда можно выделить такой шар, что [math] y [/math] является его центром (достаточно положить [math] r' = r - \rho (x, y) [/math], где [math] x [/math] — центр шара, в который входит [math] y [/math], а [math] r [/math] — его радиус).
При этом, [math] F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing [/math].

Предположим, что это не так, и для какого-то [math] x \notin F [/math] не найдется такого открытого шара [math] V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing [/math]

Запишем это формально: [math] \forall r: F \cap V_r(x) \neq \varnothing[/math].

Определим следующие последовательности:

[math] r_n = \frac 1n [/math], [math] \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V_{r_n}(x)) [/math].
[math] r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rightarrow x [/math].
Каждый [math] x_n \in F, x_n \rightarrow x \Rightarrow \{ x_n \} [/math] — сходящаяся последовательность в [math] F [/math]. Но, по предположению, [math] F [/math] содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит [math] x \in F [/math]. Получили противоречие, значит [math] G = \overline F [/math] — открытое множество, а значит [math] F [/math] — замкнуто.
[math]\triangleleft[/math]

См. также

Если интересно - аксиомы отделимости