1632
правки
Изменения
м
Рассмотрим <tex> x \notin F </tex>. Пусть <tex> G = \overline F </tex>. Если Достаточно доказать, что <tex> G </tex> {{-- -}} открытое, то . Тогда <tex> F </tex> {{- --}} [[#Замкнутые множества|по определению]] замкнутое множество (по определению). Докажем от противного.
Тогда Если <tex> G </tex> {{---}} открытое множество, то тогда каждый <tex> y \notin F </tex> входит в <tex> G </tex> вместе с каким-то открытым шаром (по определению {{-- -}} <tex> G = \bigcup\limits_i V_i </tex> {{- --}} открытое множество), причём, всегда можно выделить такой шар, что <tex> y </tex> является его центром (достаточно положить <tex> r' = r - \rho (x, y) </tex>, где <tex> x </tex> {{- --}} центр шара, в который входит <tex> y </tex>, а <tex> r </tex> {{--- }} его радиус). <br>При этом, <tex> F \cap G = \varnothing \Rightarrow \forall i: V_i \cap F = \varnothing </tex>.
rollbackEdits.php mass rollback
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Метрика и метрическое пространство==
{{Определение
|id=def1
|definition=
Отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы
=== Пример открытого шара ===
На числовой оси: <tex> X = \mathbb{R}: V_r(a) = (a - r; a + r) </tex>
{{Определение
|definition=
Множество <tex>M \subset X</tex> '''ограничено''', если существуют <tex> a \in X </tex> и <tex> r \in (0; +\infty) </tex>, такие, что
<tex>M \subset V_r(a)</tex>. Иначе говоря, множество ограничено, если его можно поместить в открытый шар конечного радиуса.
}}
=== Свойства шаров ===
{{Теорема
Пусть <tex> b \in V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex>. Тогда <tex> \exists r > 0:\ V_r(b) \subset \ V_{r_1}(a_1) \cap V_{r_2}(a_2)</tex> <br \>
Простыми словами: Если два открытых шара пересекаются, то для любой точки из их пересечения существует открытый шар, лежащий в их пересечениии содержащий эту точку.
|proof=
Замечание: для <tex>X = \mathbb{R}</tex> это очевидно (переcечение двух интервалов есть интервал).
Для <tex> V_{r_1} </tex>
: <tex> \rho (b, a_1) < r_1</tex>
: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_1) < r_1 </tex>
: <tex> \rho (y, a_1) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_1) < r_1 \Rightarrow \rho (y, b) < r_1 - \rho(b, a_1) = d_1,\ d_1 > 0 </tex>
Для <tex> V_{r_2} </tex>
: <tex> \rho (b, a_2) < r_2</tex>
: <tex> \exists ? r > 0: \rho (y, b) < r \Rightarrow \rho (y, a_2) < r_2 </tex>
: <tex> \rho (y, a_2) \le \rho (y, b) + \rho (b, a_2) < r_2 \Rightarrow \rho (y, b) < r_2 - \rho(b, a_2) = d_2,\ d_2 > 0 </tex>
<tex> r = \min(d_1, d_2) \Rightarrow \rho(y, b) < r \Rightarrow y</tex> войдет в оба шара
===Свойства открытых множеств ===
# <tex> X, \varnothing \in \tau </tex> {{---}} все пространство и пустое множество открыты
# <tex> G_{\alpha} \in \tau, \alpha \in A \Rightarrow \bigcup\limits_{\alpha \in A} G_\alpha \in \tau </tex> — очевидно
# <tex> G_1 \dots G_n \in \tau \Rightarrow \bigcap\limits_{j = 1}^n G_j \in \tau </tex>
Доказательство свойства 3:
: Докажем для двух множеств. Тогда, очевидно, это будет верно и для <tex>n</tex> множеств.
: <tex> G_1 = \bigcup\limits_{\alpha}V_{\alpha}; G_2 = \bigcup\limits_{\beta}V_{\beta} </tex>
: <tex> G_1 \cap G_2 = \bigcup\limits_{\alpha, \beta}(V_{\alpha} \cap V_{\beta}) </tex>
== Замкнутые множества ==
{{Определение|definition=Множество <tex>F </tex> называется замкнутым в МП<tex>(X, \rho)</tex>, если <tex> \overline F = X \backslash F </tex> {{--- }} открыто.}}
Применяя закон де Моргана, видим что класс открытых множеств <tex> \tau </tex> двойственен классу замкнутых множеств.
=== Свойства замкнутых множеств ===
# <tex> X, \varnothing </tex> {{---}} замкнуты
# Если <tex>\ F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто <tex>\forall \alpha \in A </tex>, то <tex>\bigcupbigcap\limits_{\alpha \in A} F_{\alpha} </tex> {{---}} замкнуто # Если <tex>\ F_1 \dots F_n </tex> {{---}} замкнуты, то <tex> \Rightarrow \bigcapbigcup\limits_{j = 1}^n F_j </tex> {{---}} замкнуто
== Предел в метрическом пространстве ==
<tex> x_n \rightarrow x', x_n \rightarrow x'' </tex> в МП<tex>(X, \rho) \Rightarrow x' = x'' </tex>
|proof=
<tex> \rho(x', x'') \leq \rho(x', xx_n) + \rho(x'', xx_n) \Rightarrow \rho(x', x'') = 0 \Rightarrow x' = x'' </tex>
На самом деле, этот факт {{---}} свойство МП, состоящее в выполении в нем аксиомы отделимости Хаусдорфа:
Пусть <tex> (X, \tau) </tex> {{- --}} ТП, тогда если <tex> \forall a \ne b: \exists G_1, G_2 \in \tau :</tex>
# <tex> G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
# <tex> a \in G_1; b \in G_2 </tex>
В прямую сторону
|statement=
Если <tex>F </tex> {{-- -}} замкнуто, если то оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. <br>Если <tex>F </tex> {{--- }} замкнуто <tex> \Longrightarrow \forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F </tex>.
|proof=<br />
: Пусть <tex> x \notin F, F = \overline G \Rightarrow x \in G = \bigcup\limits_\alpha V \Rightarrow x \in V </tex>
В обратную сторону
|statement=
Если множество <tex>F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, то оно замкнуто. <br>Если <tex>\forall \{ x_1 \dots x_n \} \in F, x_n \rightarrow x, x \in F \Longrightarrow \ F</tex>F {{--- }} замкнуто .
|proof=
Предположим, что это не так, и для какого-то <tex> x \notin F </tex> не найдется такого открытого шара <tex> V(x): x \in V_r(x) , \, V_r(x) \cap F = \varnothing </tex>
: <tex> r_n = \frac 1n </tex>, <tex> \{ x_n \} : x_n \in (F \cap V_{r_n}(x)) </tex>.
: <tex> r_n \rightarrow 0 \Rightarrow x_n \rightarrow x </tex>.
Каждый <tex> x_n \in F, x_n \rightarrow x \Rightarrow \{ x_n \} </tex> {{- --}} сходящаяся последовательность в <tex> F </tex>. Но, по предположению, <tex> F </tex> содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей, а значит <tex> x \in F </tex>. Получили противоречие, значит <tex> G = \overline F </tex> {{--- }} открытое множество, а значит <tex> F </tex> {{--- }} замкнуто.
}}
== См. также ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D1%8B_%D0%BE%D1%82%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Если интересно - аксиомы отделимости]
