Минимальная охватывающая окружность множества точек — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Описание)
(Алгоритм)
Строка 4: Строка 4:
  
 
==Алгоритм ==
 
==Алгоритм ==
 +
Сперва приведем алгоритм, корректность которого позднее будет доказана.
 +
Рассмотрим метод <tex> MinDisc </tex>, который будет принимать на вход множество точек, а возвращать будет искомую охватывающую окружность. Идея метода в том, что он генерирует случайную перестановку из точек, которые поступили на вход и в получившимся порядке по одной добавляет их в текущую охватывающую окружность. Как будет доказано позднее, если на каком-то шаге алгоритма текущая точка оказалась вне текущей минимальной окружности, то утверждается, что она лежит на границе новой окружности, которая будет содержать в себе ее и все предыдущие точки. Опишем приведенный выше алгоритм псевдоком:
 +
 +
MinDisc(S)
 +
    Let P - random permutation of S
 +
    Let D2 - be the smallest enclosing disc for {p1, p2}.
 +
    for i = 3 to n {
 +
        if pi <tex> \in </tex> Di−1  then Di = Di−1 // point is inside. nothing to do here
 +
                      else Di = MinDiscWithPoint ({p1,...,pi−1}, pi) // point is lying on the boundary of minimal circle
 +
    }
 +
    return Dn
  
 
==Корректность алгоритма==
 
==Корректность алгоритма==

Версия 13:15, 16 января 2014

Конспект не готов.

Описание

Минимальная охватывающая окружность множества точек (smallest enclosing disc) - это задача, в которой необходимо по заданному набору точек найти окружность минимального радиуса, которая содержит все точки множества.

Алгоритм

Сперва приведем алгоритм, корректность которого позднее будет доказана. Рассмотрим метод [math] MinDisc [/math], который будет принимать на вход множество точек, а возвращать будет искомую охватывающую окружность. Идея метода в том, что он генерирует случайную перестановку из точек, которые поступили на вход и в получившимся порядке по одной добавляет их в текущую охватывающую окружность. Как будет доказано позднее, если на каком-то шаге алгоритма текущая точка оказалась вне текущей минимальной окружности, то утверждается, что она лежит на границе новой окружности, которая будет содержать в себе ее и все предыдущие точки. Опишем приведенный выше алгоритм псевдоком:

MinDisc(S)
   Let P - random permutation of S
   Let D2 - be the smallest enclosing disc for {p1, p2}.
   for i = 3 to n {
       if pi [math] \in [/math] Di−1  then Di = Di−1 // point is inside. nothing to do here
                     else Di = MinDiscWithPoint ({p1,...,pi−1}, pi) // point is lying on the boundary of minimal circle
   }
   return Dn

Корректность алгоритма

Память и время работы

Источники

Mark de Berg, Otfried Cheong, Marc van Kreveld, Mark Overmars-Computational Geometry Algorithms and Applications, p. 86