442
правки
Изменения
→Простой алгоритм
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle F,\ c \rangle</tex> и <tex>\langle Q \setminus F, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
# Из очереди извлекается пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>(R_1)</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>(R_2)</tex>). # Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. то есть <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \ R_2 \ne \emptyset </tex>).
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}</tex>
<tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>
<tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
'''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
=== Реализация ===
*<tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} множество состояний ДКА,
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
<tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>
<tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
'''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''replaceif''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{PS}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очереди </font> remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''withfrom''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''andinto''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' '''if''' <tex>|\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{pushSetsToQueueP}(S,[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font> push <tex>\ langle R_1,c \rangle</tex> '''into''' <tex>\ mathtt{S}</tex> '''else''' push <tex>\langle R_2), c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>).
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
<tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
<tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
<tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> <font color=darkgreen>// находим классы, из состояний которых есть ребро в состояния сплиттера </font> '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> <font color=darkgreen>// перебираем только классы входящие в <tex>T'</tex></font>
<tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
'''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
replace <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> with <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''replaceif''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{PS}</tex> remove <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''withfrom''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''andinto''' <tex>\mathtt{S}</tex> push <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' '''if''' <tex>|\mathtt{pushSetsToQueueP}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}(S,[R_2]| </tex> push <tex>\ langle R_1,c \ rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''else''' push <tex>\langle R_2), c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) \,</tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),.
Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,
*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,
*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
<tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
'''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
<tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex>
<tex>\mathtt{Count}[i]++</tex>
'''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] <</tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}[i]|</tex> '''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//Создадим создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font> <tex>\mathtt{Twin}[i]} = </tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen>//Запишем запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font>
'''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
<tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
===Время работы===
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
}}
*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''take any from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <font color=darkgreen>//Взять любую пару из <tex>\mathtt{Queue}</tex>, не удаляя (!)</font>
<tex>\mathtt{Involved} = \{\}</tex>
'''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{Involved}[i] == \varnothing</tex>
<tex>\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex>
'''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <font color=darkgreen>//Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex></font>
'''if''' ('''size of''' <tex>|\mathtt{Involved}[i] | <</tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}[i]|</tex>)
'''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//Создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font>
<tex>j = </tex> '''size of''' <tex>|\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen>//Запишем в <tex>j</tex> индекс нового класса</font>
'''for''' <tex>r</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
== См. также ==
* [[Алгоритм Бржозовского]]
== Источники информации ==
