Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Простой алгоритм
# Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle F,\ c \rangle</tex> и <tex>\langle Q \setminus F, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
# Из очереди извлекается пара <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, <tex>C</tex> далее именуется как сплиттер.
# Каждый класс <tex>R</tex> текущего разбиения разбиваются на 2 подкласса (один из которых может быть пустым). Первый состоит из состояний, которые по символу <tex>a</tex> переходят в сплиттер (<tex>(R_1)</tex>), а второй из всех оставшихся (<tex>(R_2)</tex>). # Если <tex>R</tex> разбился на два непустых подкласса (т.е. то есть <tex> R_1 \ne \emptyset \ \land \ R_2 \ne \emptyset </tex>).
## В разбиении <tex>P</tex> класс <tex>R</tex> заменяется на свои подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>.
## Перебираются символы алфавита <tex>c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> и <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> помещаются в очередь.
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F,\ Q \setminus F \}</tex>
<tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>
<tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
'''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
''' replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> ''' insert''' <tex>\langle R_1,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> ''' insert''' <tex>\langle R_2,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
*<tex>\mathtt{R}</tex> {{---}} класс состояний ДКА.
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
<tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex>
<tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
'''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex> '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// смотрим, есть ли пара <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> в очереди </font> '''remove''' <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> <font color=darkgreen>// заменяем её на пары <tex>\langle R_1, c \rangle</tex>, <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> если пара есть </font> '''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''else'''
'''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex> <font color=darkgreen>// вставляем любую иначе</font> '''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''else'''
'''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
Понятно, что нам нет никакой необходимости просматривать все классы в разбиении. Вполне достаточно рассмотреть лишь те классы, из состояний которых есть хотя бы одно ребро в состояния сплиттера. Обозначим множество таких классов за <tex>T'</tex> (его нужно будет эффективно находить для каждой пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>).
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
<tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{S}</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex>
<tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in Q, \ \delta(r, a) \in C\}</tex>
<tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> <font color=darkgreen>// находим классы, из состояний которых есть ребро в состояния сплиттера </font> '''for''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> <font color=darkgreen>// перебираем только классы входящие в <tex>T'</tex></font>
<tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> <tex>\mathtt{split}(R,\ C,\ a)</tex>
'''if''' <tex> R_1 \ne \varnothing </tex> '''and''' <tex> R_2 \ne \varnothing </tex>
'''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex>
'''if''' <tex>\langle R,\ c \rangle</tex> '''in''' <tex> \mathtt{S}</tex>
'''remove''' <tex>\langle R, c \rangle</tex> '''from''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''else'''
'''if''' <tex> |\mathtt{P}[R_1]| \leqslant |\mathtt{P}[R_2]| </tex>
'''push''' <tex>\langle R_1, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''else'''
'''push''' <tex>\langle R_2, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{S}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
Каждая итерация цикла <tex> \mathrm{while} </tex> может быть выполнена за <tex> O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|) \,</tex> для текущей пары <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>. Покажем, как можно достичь этой оценки.
Классы разбиения <tex>P</tex> будем поддерживать с помощью множеств на [[Хеш-таблица | хэш-таблицах]] (само же разбиение {{---}} обычный вектор, индекс {{---}} номер класса). Это позволит нам эффективно переносить состояния из одного класса в другой (за <tex>O(1)</tex>).
*<tex>\mathtt{Class}[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>,
*<tex>\mathtt{Queue}</tex> {{---}} очередь пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>C</tex> {{---}} номер класса (сплиттера),
*<tex>\mathtt{Inv}[r][a]</tex> {{---}} массив состояний, из которых есть ребра по символу <tex>a</tex> в состояние <tex>r</tex> (мы не меняем исходный автомат, потому может быть построен раз перед началом работы алгоритма),.
Для обработки <tex>T'</tex> за <tex>O(|Q| + |\mathtt{Inverse}|)\,</tex> нам понадобится следующая структура:
*<tex>\mathtt{Involved}</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>,
*<tex>\mathtt{Count}</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>\mathtt{Count}[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>,
*<tex>\mathtt{Reversed}</tex> {{---}} массив булеан, <tex>\mathtt{Reversed}[i] == </tex> ''true'', если требуется добавлять состояния из <tex>\mathtt{Inverse}</tex> в исходный класс <tex>i</tex>, а не в новый класс (<tex>\mathtt{Twin}[i]</tex>),*<tex>\mathtt{Twin}</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>,*<tex>\mathtt{Used}</tex> {{---}} массив булеан, <tex>\mathtt{Used}[r] == </tex> ''true'', если состояние <tex>r</tex> попало в <tex>\mathtt{Inverse}</tex>.
'''function''' findEquivalenceClasses<tex>\mathtt{findEquivalenceClasses}(Q,\ F,\ \delta)</tex>:'''vector'''
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''push''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> '''pop''' '''from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
<tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex>
'''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
<tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] == 0</tex>
'''insert''' <tex>i</tex> '''ininto''' <tex>\mathtt{Involved}</tex>
<tex>\mathtt{Count}[i]++</tex>
<tex>\mathtt{Used}[r] = </tex> ''true''
'''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] < |\mathtt{P}[i]|</tex>
'''insert''' <tex>\{\}</tex> '''into''' <tex>\mathtt{P}</tex> <font color=darkgreen>//Создадим создадим пустой класс в разбиении <tex>\mathtt{P}</tex></font> <tex>\mathtt{Twin}[i]} = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen>//Запишем запишем в <tex>\mathtt{Twin[i]}</tex> индекс нового класса</font> '''if''' <tex>\mathtt{Count}[i] > |\mathtt{P}[i]|/2</tex> <tex>\mathtt{Reversed}[i] = </tex> ''true''
'''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
<tex>i = \mathtt{Class}[r]</tex>
'''if''' <tex>j = \mathtt{Twin}[i] </tex> '''if''' <tex>j \neq 0</tex> remove <tex>r</tex> '''iffrom''' <tex>\lnot \mathtt{ReversedP}[i]</tex> add <tex>\mathtt{move}(r,\ i,\ \mathtt{Twin}[i])</tex> '''to''' <tex>\mathtt{UsedP}[rj] = </tex> ''false''
'''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex>
'''if''' <tex> j = \mathtt{Twin}[i] \neq 0 </tex> '''if''' <tex>j \mathtt{Reversed}[i]neq 0 </tex> '''forif''' <tex> r |\in mathtt{P}[j]| > |\mathtt{P}[i] |</tex> <font color=darkgreen>// парный класс должен быть меньшего размера</font> '''if''' <tex>\lnot mathtt{swap}(\mathtt{UsedP}[i],\ \mathtt{P}[rj])</tex> <font color=darkgreen>// swap за <tex>\mathtt{moveO(1)}(</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''for''' <tex>r,\ i,\ in \mathtt{TwinP}[ij])</tex> <font color=darkgreen> // обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font> <tex>\mathtt{UsedClass}[r] = j</tex> ''false'' '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> ''' push''' <tex>\langle \mathtt{Twin}[i]j, c \rangle</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Queue}</tex>
<tex>\mathtt{Count}[i] = 0</tex>
<tex>\mathtt{Reversed}[i] = </tex> ''false''
<tex>\mathtt{Twin}[i] = 0</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
<tex>\mathtt{move}(r,\ i,\ j)</tex>:
'''remove''' <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
'''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>
<tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>
Стоит отметить, что массивы <tex>\mathtt{Count},\ \mathtt{Twin},\ \mathtt{Used},\ \mathtt{Reversed}</tex> аллоцируются ровно один раз при инициализации алгоритма.
Когда мы вычислили массив <tex>\mathtt{Count}</tex>, мы смотрим, какая часть класса <tex>i</tex> больше и помечаем (<tex>\mathtt{Reversed}[i] = </tex> ''true''), когда больше часть, состоящая из состояний множества <tex>\mathtt{Inverse}</tex>. Далее, смотря на эту пометку, мы заполняем класс <tex>\mathtt{Twin}</tex> либо состояниями из <tex>\mathtt{Inverse}</tex>, либо всеми остальными. Благодаря такой стратегии, в новом классе <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> будет гарантировано меньше вершин, чем в <tex>i</tex>. Пары с этим подклассом потому и следует добавлять в очередь. Причем, Также стоит отметить, что собственно наличие/отсутствие пары в очереди можно не проверять. Если для некоторого <tex>c</tex> пара <tex>\langle i, c \rangle</tex> уже была в очереди, то мы добавим её "вторую половинку" <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>. Если её в очереди не было, то мы вольны сами выбирать, какой подкласс добавлять в очередь, и таким образом добавляем опять же <tex>\langle \mathtt{Twin}[i], c \rangle</tex>.Кроме того, вместо очереди можно использовать вообще произвольную структуру, хранящую элементы, в том числе стэк, множество, так как порядок извлечения нам по сути не важен.
===Время работы===
<tex>\sum |\mathtt{Inverse}|</tex> по всем итерациям цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.
|proof =
Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество раз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>\mathtt{Inverse}\,</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>\langle C,\ a \rangle</tex>, где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma</tex> мы получим утверждение леммы.
}}
*По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>\mathrm{while}</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
*Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|\mathtt{Inverse}|))\,</tex> времени. Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|\mathtt{Inverse}|)\,</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|))</tex>.
*В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в процессе работы алгоритма не может появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>.
<tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ F, \ Q \setminus F \}</tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''insert''' <tex>\langle F,\ c \rangle</tex>, <tex>\langle Q \setminus F,\ c \rangle</tex> '''into''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
'''while''' <tex>\mathtt{Queue} \ne \varnothing</tex>
<tex>\langle C,\ a \rangle</tex> <tex>\leftarrow</tex> pop '''take any from''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> <font color=darkgreen>//Взять любую пару из <tex>\mathtt{Queue}</tex>, не удаляя (!)</font>
<tex>\mathtt{Involved} = \{\}</tex>
'''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex>
'''if''' <tex>\mathtt{Involved}[i] == \varnothing</tex>
<tex>\mathtt{Involved}[i] = \{\}</tex>
'''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
'''for''' <tex> i \in \mathtt{Involved}</tex> <font color=darkgreen>//Перебираем ключи <tex>\mathtt{Involved}</tex></font>
'''if''' <tex>|\mathtt{Involved}[i]| < |\mathtt{P}[i]|</tex>
<tex>j = |\mathtt{P}|</tex> <font color=darkgreen>//Запишем в <tex>j</tex> индекс нового класса</font>
'''for''' <tex>r</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}[i]</tex>
remove <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex> add <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex> '''if''' <tex>|\mathtt{InvolvedP}[ij]| \leqslant > |\mathtt{P}[i]|</2tex> <font color=darkgreen>/tex/Парный класс должен быть меньшего размера</font> <tex>\mathtt{moveswap}(r,\ mathtt{P}[i],\ \mathtt{P}[j])</tex> <font color=darkgreen>//swap за <tex>\mathtt{O(1)}</tex> {{---}} просто переставить указатели</font> '''elsefor'''<tex>r \in \mathtt{P}[j]</tex> <font color=darkgreen>//Обновляем номера классов для вершин, у которых они изменились</font> <tex>\mathtt{moveClass}([r,\ ] = j,\ i)</tex>
'''for''' <tex>c \in \Sigma</tex>
'''push''' <tex>\langle j, c \rangle</tex> '''into''' <tex>\mathtt{Queue}</tex> '''remove''' <tex>\langle C,\ a \rangle</tex> '''from''' <tex> \mathtt{Queue}</tex>
'''return''' <tex>\mathtt{P}</tex>
 
<tex>\mathtt{move}(r,\ i,\ j)</tex>:
'''remove''' <tex>r</tex> '''from''' <tex>\mathtt{P}[i]</tex>
'''add''' <tex>r</tex> '''to''' <tex>\mathtt{P}[j]</tex>
<tex>\mathtt{Class}[r] = j</tex>
== См. также ==
* [[Алгоритм Бржозовского]]
 
== Примечания ==
 
<references/>
== Источники информации ==
442
правки

Навигация