Изменения

Класс <tex>SC</tex> '''разбивает''' класс <tex>R</tex> по символу <tex>a</tex> на <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex>, если # <tex>\forall r \in R_1 \,\,\, \delta(r, a) \in SC</tex> # <tex>\forall r \in R_2 \,\,\, \delta(r, a) \notin SC</tex>

# Перебираются символы алфавита <tex>a c \in \Sigma</tex>, все пары <tex>(F, ac)</tex> и <tex>(Q \setminus F, ac)</tex> помещаются в очередь.# Из очереди извлекается пара <tex>(SC, a)</tex>, <tex>SC</tex> далее именуется как сплиттер.

<tex>WS</tex> {{---}} очередьпар <tex>(C, a)</tex>.

<tex>\mathtt{P } \leftarrow \{ \mathtt{ F, Q } \setminus \mathtt{F } \}</tex> <tex>W \mathtt{S} \leftarrow \{ \}varnothing </tex> '''for all''' <tex>a c \in \Sigma</tex> '''insert''' <tex>W(\mathtt{F}, c)</tex>'''.pushin'''(<tex>F, a\mathtt{S}</tex>) '''insert''' <tex>W(\mathtt{Q} \setminus \mathtt{F}, c)</tex>'''.pushin'''(<tex>Q \setminus F, amathtt{S}</tex>) '''while not''' <tex>W\mathtt{S} \ne \varnothing </tex>'''.isEmpty()''' <tex>W(C, a) \leftarrow</tex>'''.pop'''(<tex>\mathtt{S, a}</tex>) '''for all''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> <tex>R_1 = R \cap \delta^{-1} (SC, a) </tex>

'''if''' <tex> |R_1| \ne 0\varnothing </tex> '''and''' <tex>|R_2| \ne 0\varnothing </tex> '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''for all''' <tex> c \in \Sigma </tex> '''insert''' <tex>W(R_1, c)</tex>'''.pushin'''(<tex>R_1, c\mathtt{S}</tex>) '''insert''' <tex>W(R_2, c)</tex>'''.pushin'''(<tex>R_2, c\mathtt{S}</tex>)Когда очередь <tex>S</tex> станет пустой, будет получено разбиение на классы эквивалентности, так как больше ни один класс невозможно разбить.

Время работы алгоритма оценивается как <tex>O(|\Sigma| \cdot n^2)</tex>, где <tex> n </tex> {{---}} количество состояний ДКА, а <tex> \Sigma </tex>{{---}} алфавит. Это следует из того, что если пара <tex>(SC, a)</tex> попала в очередь, и класс <tex>SC</tex> использовался в качестве сплиттера, то при последующем разбиении этого класса в очередь добавляется два класса <tex>S_1C_1</tex> и <tex>S_2C_2</tex>, причем можно гарантировать лишь следующее уменьшение размера: <tex>|SC| \ge |S_iC_i| + 1</tex>. Каждое состояние изначально принадлежит лишь одному классу в очереди, поэтому каждый переход в автомате будет просмотрен не более, чем <tex>O(n)</tex> раз. Учитывая, что ребер всего <tex>O(|\Sigma| \cdot n)</tex>, получаем указанную оценку.

===ПсевдокодРеализация===

<tex>WS</tex> {{---}} очередьиз пар <tex>(C, a)</tex>.

  <tex>\mathtt{P } \leftarrow \{ \mathtt{ F, Q } \setminus \mathtt{F } \}</tex> <tex>W \mathtt{S} \leftarrow \{ \}varnothing </tex> '''for all''' <tex>a c \in \Sigma</tex> <tex>W</tex>'''.pushinsert'''<tex> ('''\mathtt{min'''} (<tex>\mathtt{F, Q } \setminus \mathtt{F}), c)</tex>), '''in''' <tex>a\mathtt{S}</tex>) '''while not''' <tex>W\mathtt{S} \ne \varnothing</tex>'''.isEmpty()''' <tex>W(C, a) \leftarrow</tex>'''.pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>) <tex>T \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R</tex> splits by <tex>(C, a) \}</tex>) '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>PT</tex> <tex> R_1, R_2 \leftarrow </tex> '''split by''' (<tex>(SR, C, a)</tex> ) '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''iffor''' (<tex>R, a</tex>) '''c \in''' <tex>W\Sigma</tex> '''replaceif''' (<tex>(R, ac)</tex>) '''in''' <tex>W\mathtt{S}</tex> '''withreplace''' (<tex>R_1(R, ac)</tex>) '''andin''' (<tex>R_2, a\mathtt{S}</tex>) '''else''' '''ifwith''' <tex> |(R_1| \le |R_2|</tex> <tex>W, c)</tex>'''.pushand'''(<tex>R_1(R_2, ac)</tex>)

'''insert''' <tex>W(\mathtt{min}(R_1, R_2), c)</tex>'''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> К сожалению, совсем не очевидно, как быстро находить множество <tex>T</tex>.pushС другой стороны, понятно, что <tex>T \subset T'</tex>, где <tex>T'</tex> {{---}} это множество классов текущего разбиения, из состояний которых в автомате существует переход в состояния сплиттера <tex>C</tex> по символу <tex>a</tex>. Модифицируем наш алгоритм: для каждой очередной пары <tex> (C, a) </tex> будем находить <tex> T'</tex>, и с каждым классом состояний из <tex> T' </tex> будем производить те же действия, что и раньше.  <tex>\mathtt{P} \leftarrow \{ \mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F} \}</tex> <tex>\mathtt{S} \leftarrow \varnothing </tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> '''insert''' <tex>(\mathtt{min} (\mathtt{F, Q} \setminus \mathtt{F}), c)</tex>'''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''while''' <tex>\mathtt{S} \ne \varnothing</tex> <tex>(C, a) \leftarrow</tex> '''pop'''(<tex>\mathtt{S}</tex>) <tex>\mathtt{Inverse} \leftarrow \{r \ | \ r \in \mathtt{Q}, \ \delta(r, a) \in C\}</tex> <tex>T' \leftarrow \{R \ | \ R \in \mathtt{P}, \ R \cap \mathtt{Inverse} \neq \varnothing\}</tex> '''for each''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>T'</tex> '''if''' <tex>R</tex> splits by <tex>(C, a)</tex> <tex> R_1, R_2\leftarrow </tex> '''split'''(<tex>R, C, a</tex>) '''replace''' <tex>R</tex> '''in''' <tex>\mathtt{P}</tex> '''with''' <tex>R_1</tex> '''and''' <tex>R_2</tex> '''for''' <tex>c \in \Sigma</tex> '''if''' <tex>(R, c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> '''replace''' <tex>(R, c)</tex> '''in''' <tex>S</tex> '''with''' <tex>(R_1, c)</tex> '''and''' <tex>(R_2, c)</tex> '''else''' '''insert''' <tex>(\mathtt{min}(R_1, R_2), c)</tex> '''in''' <tex>\mathtt{S}</tex> Каждая итерация цикла <tex> while </tex> не может быть выполнена быстрее, чем за <tex> O(|Inverse|) </tex> для текущей пары <tex> (C,a)</tex>. Покажем, как достичь этой оценки. Разбиение <tex> P </tex> можно поддерживать четырьмя массивами:*<tex>Class[r]</tex> {{---}} номер класса, которому принадлежит состояние <tex>r</tex>;*<tex>Part[i]</tex> {{---}} указатель на голову [[Список#Двусвязный список|двусвязного списка]], содержащего состояния, принадлежащие классу <tex> i </tex>;*<tex>Card[i]</tex> {{---}} количество состояний в классе <tex>i</tex>;*<tex>Place[r]</tex> {{---}} указатель на состояние <tex>r</tex> в списке <tex>Part[Class[r]]</tex>. Так как мы храним указатель, где находится состояние в двусвязном списке, то операцию перемещения состояния из одного класса в другой можно выполнить за <tex>O(1)</tex>. Чтобы эффективно находить множество <tex>Inverse</tex>, построим массив <tex>Inv</tex>, который для состояния <tex>r</tex> и символа <tex>a</tex> в <tex>Inv[r][a]</tex>хранит множество состояний, из которых существует переход в <tex>r</tex> по символу <tex>a</tex>. Так как наш алгоритм не меняет изначальный автомат, то массив <tex>Inv</tex> можно построить перед началом основной части алгоритма, что займет <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex> времени. Теперь научимся за <tex>O(|Inverse|)</tex> обрабатывать множество <tex>T'</tex> и разбивать классы. Для этого нам понадобится следующая структура:*<tex>Counter</tex> {{---}} количество классов;*<tex>Involved</tex> {{---}} список из номеров классов, содержащихся во множестве <tex>T'</tex>;*<tex>Size</tex> {{---}} целочисленный массив, где <tex>Size[i]</tex> хранит количество состояний из класса <tex>i</tex>, которые содержатся в <tex>Inverse</tex>;*<tex>Twin</tex> {{---}} массив, хранящий в <tex>Twin[i]</tex> номер нового класса, образовавшегося при разбиении класса <tex>i</tex>.  Сам же алгоритм обработки <tex>T'</tex> будет выглядеть так: <tex>\mathtt{Involved} \leftarrow \varnothing</tex> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[q]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Size}[i] == 0</tex> '''insert''' <tex>i</tex> '''in''' <tex>\mathtt{Involved}</tex> <tex>\mathtt{Size}[i]++</tex> '''for''' <tex>q \in C</tex> '''and''' <tex>r \in \mathtt{Inv}[q][a]</tex> <tex>i = \mathtt{Class}[q]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Size}[i] < \mathtt{Card}[i]</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Twin}[i] == 0</tex> <tex>\mathtt{Counter}++</tex> <tex>\mathtt{Twin[i]} = \mathtt{Counter}</tex> '''move''' <tex>r</tex> '''from''' <tex>i</tex> '''to''' <tex>\mathtt{Twin}[i]</tex> '''for''' <tex> j \in \mathtt{Involved}</tex> <tex>\mathtt{Size}[j] = 0</tex> <tex>\mathtt{Twin}[j] = 0</tex> Для быстрой проверки, находится ли пара <tex>(C,a)</tex> в очереди <tex>S</tex>, будем использовать массив <tex>InQueue</tex> размера <tex>|Q| \times |\Sigma|</tex>, где <tex>InQueue[C][a] = true</tex>, если пара <tex>(C,a)</tex> содержится в очереди. Так как при разбиении очередного класса <tex>R</tex> на подклассы <tex>R_1</tex> и <tex>R_2</tex> мы в действительности создаем лишь один новый класс, то замена класса <tex>R</tex> в очереди на подклассы, образовавшиеся при разбиении, сводится лишь к взаимодействию с массивом <tex>InQueue</tex>. В результате каждая операция с очередью требует <tex>O(1)</tex> времени.

Время {{Лемма|about = 1|id = Лемма1|statement =Количество классов, созданных во время выполнения алгоритма, не превышает <tex>2 |Q| - 1</tex>.|proof =Представим дерево, которое соответствует операциям разделения классов на подклассы. Корнем этого дерева является все множество состояний <tex>Q</tex>. Листьями являются классы эквивалентности, оставшиеся после работы модифицированного алгоритма оценивается . Так как дерево бинарное {{---}} каждый класс может породить лишь два новых, а количество листьев не может быть больше <tex>|Q|</tex>, то количество узлов этого дерева не может быть больше <tex>2 |Q| - 1</tex>, что доказывает утверждение леммы.}} {{Лемма|about = 2|id = Лемма2|statement = Количество итераций цикла <tex>while</tex> не превышает <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.|proof =Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что количество пар <tex>(C,a)</tex> добавленных в очередь <tex>S</tex> не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>, так как на каждой итерации мы извлекаем одну пару из очереди. По [[#Лемма1 | лемме(1)]] количество классов не превосходит <tex>2 |Q| - 1</tex>. Пусть <tex>C</tex> элемент текущего разбиения. Тогда количество пар <tex>O(C,a), \ a \in \Sigma</tex> не может быть больше <tex>|\Sigma|</tex>. Отсюда следует, что всего различных пар, которые можно добавить в очередь, не превосходит <tex> 2 |\Sigma| |Q| </tex>.}} {{Лемма|about = 3|id = Лемма3|statement = Пусть <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex>p \in Q</tex>. Тогда количество пар <tex>(C,a)</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которые мы удалим из очереди, не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex> для фиксированных <tex>a</tex> и <tex>p</tex>.| proof =Рассмотрим пару <tex>(C,a)</tex>, где <tex>p \in C</tex>, которую мы удаляем из очереди. И пусть <tex>(C',a)</tex> следующая пара, где <tex>p \cdot nin C'</tex> и которую мы удалим из очереди. Согласно нашему алгоритму класс <tex>C'</tex> мог появиться в очереди только после операции <tex>\logmathtt{nreplace}</tex>. Но после первого же разбиения класса <tex>C</tex> на подклассы мы добавим в очередь пару <tex>(C'', a)</tex>, где <tex> n C''</tex> меньший из образовавшихся подклассов, то есть <tex>|C''| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Так же заметим, что <tex>C' \subseteq C''</tex>, а следовательно <tex>|C'| \leqslant |C| \ / \ 2</tex>. Но тогда таких пар не может быть больше, чем <tex>\log_2(|Q|)</tex>. }} {{---}} Лемма|about = 4|id = Лемма4|statement = <tex>\sum |Inverse|</tex> по всем итерациям цикла <tex>while</tex> не превосходит <tex>|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>.|proof =Пусть <tex>x, y \in Q</tex>, <tex>a \in \Sigma</tex> и <tex> \delta(x, a) = y</tex>. Зафиксируем эту тройку. Заметим, что количество состояний ДКАраз, которое <tex>x</tex> встречается в <tex>Inverse</tex> при условии, что <tex> \delta(x, a) = y</tex>, совпадает с числом удаленных из очереди пар <tex>(C, a)</tex>, а где <tex>y \in C</tex>. Но по [[#Лемма3 | лемме(3)]] эта величина не превосходит <tex>\log_2(|Q|)</tex>. Просуммировав по всем <tex> x \in Q </tex> и по всем <tex> a \in \Sigma </tex>мы получим утверждение леммы.}} {{---}} алфавитТеорема|statement =Время работы алгоритма Хопкрофта равно <tex>O(|\Sigma| |Q| \log(|Q|)</tex>.|proof =Оценим, сколько времени занимает каждая часть алгоритма: *Построение массива <tex>Inv</tex> занимает <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex> времени.  *По [[#Лемма2 | второй лемме]] количество итераций цикла <tex>while</tex> не превосходит <tex>O(|\Sigma| |Q|)</tex>. *Операции с множеством <tex>T'</tex> и разбиение классов на подклассы требуют <tex>O(\sum(|Inverse|))</tex> времени. В данном случае при последующем разбиении в очередь будет добавлен класс Но по [[#Лемма4 | лемме(4)]] <tex>\sum(|Inverse|)</tex> не превосходит <tex>S_1|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)</tex>, причем то есть данная часть алгоритма выполняется за <tex>O(|S\Sigma| |Q| \ge 2log_2(|S_1Q|))</tex>. Каждый переход  *В [[#Лемма1 | лемме(1)]] мы показали, что в автомате будет просмотрен процессе работы алгоритма не болееможет появится больше, чем <tex>2 |Q| - 1</tex> классов, из чего следует, что количество операций <tex>\mathtt{replace}</tex> равно <tex>O(|\log{n}Sigma| |Q|)</tex> раз. Итого, получается, ребер всего что время работы алгоритма Хопкрофта не превышает <tex>O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q|) + O(|\Sigma| |Q| \log_2(|Q|)) + O(|\Sigma| |Q|) = O(|\Sigma| |Q| \cdot nlog_2(|Q|))</tex>, отсюда указанная оценка.}}