286
правок
Изменения
Нет описания правки
# выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию <tex> G </tex> на k-мерном прямоугольнике <tex> [i_1, \ldots ,i_k] </tex>;<br/> где n - максимальное значение для каждой координаты.
}}
Рассмотрим для начала дерево Фенвика на примере k-мерного массива с <tex>k = 2</tex>, а затем посмотрим, как можно обобщить его на большие размерности.
Пусть дан массив <tex> A </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> a_{i,j}</tex>.<br/>
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> T_{i,j} = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} \sum\limits_{q = F(j)}^{j}a_{k,q}</tex>, где <tex> F(i) = i \; \& \; (i + 1) </tex>, как и в одномерном [[дерево Фенвика|дереве Фенвика]].
==Пример задачи для двумерного случая==
Пусть имеем набор точек на плоскости с неотрицательными координатами. Определены 3 операции:
# добавить точку в <tex>(x, y)</tex>;
Добавляя точку вызовем <tex>\mathrm{inc}(x, y, 1)</tex>, а удаляя <tex>\mathrm{inc}(x, y, -1)</tex>. Таким образом запрос <tex>\mathrm{sum}(x, y)</tex> дает количество точек в прямоугольнике.
[[Файл:example42.gif |thumb|600px|center|Пример дерева Фенвика <tex>(16 \times 8)</tex>. Синим обозначены элементы, которые обновятся при изменении ячейки <tex>(5, 3)</tex>. Чтобы обновить элемент <tex>(X, Y)</tex>, по первой координате нам надо зайти во все столбцы(деревья по второй координате), находящиеся левее <tex>X</tex> и на одной горизонтальной линии с ним, и в каждом из них обновить все ячейки под <tex>Y</tex>(в рамках обозначений данного рисунка).]]
==Псевдокод==
<tex>\mathtt{t }</tex> {{---}} массив, в котором хранится дерево Фенвика.
<code style = "display: inline-block;">
'''int''' sum(x: '''int''', y: '''int'''):
'''int''' result = 0
'''for''' ('''int''' i = x; i >= 0; i = (i & (i+1)) - 1) '''for''' ('''int''' j = y; j >= 0; j = (j & (j+1)) - 1)
result += t[i][j];
'''return''' result;
<code style = "display: inline-block;">
'''func''' inc(x: '''int''', y: '''int''', delta: '''int'''):
'''for''' ('''int''' i = x; i < maxX; i = (i | (i+1))) '''for''' ('''int''' j = y; j < maxY; j = (j | (j+1)))
t[i][j] += delta;
</code>
[[Файл:ФормулаВключения-Исключения.jpg]]
====Обобщение на большие размерности====Чтобы увеличить Дерево Фенвика относится к структурам данных, требующим малое количество дополнительной памяти. В комбинации с простым представлением тривиального случая данной структуры это дает возможность легко повышать размерность дерева Фенвика, в котором в ячейках какого-то фиксированного уровня будет находиться дерево меньшей размерности. Для его реализации нам достаточно во всех операциях для каждой новой размерности просто добавить вложенный цикл, пробегающий в ней соответствующие индексы.
==См. также==
*[http://e-maxx.ru/algo/fenwick_tree [Дерево Фенвика]]* [[Встречное дерево Фенвика]]* [[Дерево Фенвика для некоммутативных операций]]
==Источники информации==
*[https://www.topcoder.com/community/data-science/data-science-tutorials/binary-indexed-trees/ Topcoder {{---}} Binary Indexed Trees]*[http://e-maxx.ru/algo/fenwick_tree Дерево Фенвика]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Дерево Фенвика]][[Категория: Структуры Модификации структур данных]]
