286
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Многомерное [[дерево Фенвика]]''' (англ. <i> Multidimensional Binary Indexed Tree</i>) {{- --}} структура данных, требующая <tex> O(n^k) </tex> памяти и позволяющая эффективно (за <tex> O(\log^k n) </tex>)
# изменять значение любого элемента в k-мерном массиве;
# выполнять некоторую ассоциативную, коммутативную, обратимую операцию <tex> G </tex> на k-мерном прямоугольнике <tex> [i_1, \ldots ,i_k] </tex>;<br/> где n - максимальное значение для каждой координаты.
}}
Рассмотрим для начала дерево Фенвика на примере k-мерного массива с <tex>k = 2</tex>, а затем посмотрим, как можно обобщить его на большие размерности.
Пусть дан массив <tex> A </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> a_{i,j}</tex>.<br/>
Деревом Фенвика будем называть массив <tex> T </tex> из <tex> n \times m </tex> элементов: <tex> T_{i,j} = \sum\limits_{k = F(i)}^{i} \sum\limits_{q = F(j)}^{j}a_{k,q}</tex>, где <tex>F(i) = i\; \&\; (i + 1)</tex>, как и в одномерном [[дерево Фенвика|дереве Фенвика]].
==Пример задачи для двумерного случая==
# посчитать количество точек в прямоугольнике <tex>(0, 0), (x, y)</tex>;
Добавляя точку вызовем <tex>\mathrm{inc}(x, y, 1)</tex>, а удаляя <tex>\mathrm{inc}(x, y, -1)</tex>. Таким образом запрос <tex>\mathrm{sum}(x, y)</tex> дает количество точек в прямоугольнике.
==Псевдокод==<codetex> vector \mathtt{t}<vector <int/tex> > t;{{---}} массив, в котором хранится дерево Фенвика. int n, m<code style = "display: inline-block;"> '''int ''' sum (x: '''int x''', y: '''int y''') {: '''int ''' result = 0; '''for ''' ('''int ''' i = x; i >= 0; i = (i & (i+1)) - 1) '''for ''' ('''int ''' j = y; j >= 0; j = (j & (j+1)) - 1) result += t[i][j]; '''return ''' result; } void inc (int x, int y, int delta) { for (int i = x; i < n; i = (i | (i+1))) for (int j = y; j < m; j = (j | (j+1))) t[i][j] += delta; }
</code>
<code style = "display: inline-block;">
'''func''' inc(x: '''int''', y: '''int''', delta: '''int'''):
'''for''' ('''int''' i = x; i < maxX; i = (i | (i + 1)))
'''for''' ('''int''' j = y; j < maxY; j = (j | (j + 1)))
t[i][j] += delta;
</code>
Чтобы посчитать значение функции для прямоугольника <tex>(x_1, y_1), (x_2, y_2)</tex> нужно воспользоваться формулой [[Формула включения-исключения|включения-исключения]]. Например, для суммы: <tex>s = \mathrm{sum}(x_2,y_2)-\mathrm{sum}(x_2,y_1 - 1)-\mathrm{sum}(x_1 - 1,y_2)+\mathrm{sum}(x_1 - 1,y_1 - 1)</tex><br/>
[[Файл:ФормулаВключения-Исключения.jpg]]
====Обобщение на большие размерности====
Дерево Фенвика относится к структурам данных, требующим малое количество дополнительной памяти. В комбинации с простым представлением тривиального случая данной структуры это дает возможность легко повышать размерность дерева Фенвика, в котором в ячейках какого-то фиксированного уровня будет находиться дерево меньшей размерности. Для его реализации нам достаточно во всех операциях для каждой новой размерности просто добавить вложенный цикл, пробегающий в ней соответствующие индексы.
==См. также==
* [[Дерево Фенвика]]
* [[Встречное дерево Фенвика]]
* [[Дерево Фенвика для некоммутативных операций]]
==Источники информации==*[[Файлhttps:example42//www.topcoder.gifcom/community/data-science/data-science-tutorials/binary-indexed-trees/ Topcoder {{---}} Binary Indexed Trees]] <br*[http:/>Пример дерева Фенвика <tex>(16 \times 8)</tex>e-maxx. Синим обозначены ячейки, которые обновятся при изменении ячейки <tex>(5, 3)<ru/algo/tex>fenwick_tree Дерево Фенвика]
