Изменения

<tex>n</tex>-мерное дерево отрезков {{---}} обычное дерево отрезков, элементами которого являются деревья отрезков размерности на 1 меньше. Основная идея заключается в рекурсивном переходе к деревьям меньшей размерности. Рассмотрим работу этого принципа на следующем примере. Пусть задано <tex>p</tex>-мерное пространство с координатными осями <tex>x_1, x_2, x_3...x_p</tex>. Необходимо найти значение некоторой ассоциативной функции на гиперпрямоугольнике.  Функция, вычисляющая ответ, должна работать следующим образом. На вход она принимает <tex>i</tex>-мерное дерево отрезков, которое соответствует рассматриваемой области (где <tex>i</tex> {{---}} количество координатных осей, которые не были рассмотрены), а также <tex>i</tex>-мерную область, для которой следует вычислить функцию. Вначале она находит <tex>i-1</tex>-мерные деревья отрезков, которые соответствуют отрезку по <tex>p-i+1</tex> координате, и рекурсивно запускается от них (если текущее дерево одномерное, то функция просто возвращает ответ из соответствующего листа). После этого считает итоговый результат, используя полученные после рекурсивных вызовов значения.  Для того, чтобы определить, от каких именно деревьев отрезков следует запускаться рекурсивно, действовать необходимо так же, как и в одномерном случае. Т. е. если текущий отрезок не пересекается с необходимым, то возвращаем нейтральный элемент, если он полностью лежит в необходимом отрезке, то рекурсивно переходим к следующей размерности, иначе разобьем текущий отрезок пополам, и рассмотри отдельно каждую из частей. Таким образом, алгоритм совершит <tex>p</tex> вхождений в рекурсию, каждая итерация которой работает за <tex>O(\log n)</tex> и получим необходимую асимптотику.