Изменения
→Существование и единственность
}}
Далее, докажем следующую техническую лемму:
{{Лемма
|statement=
Пусть фиксировано некотое некоторое ребро <tex> e \in E </tex> и множество <tex> A \subset E\backslash {e}</tex>. Обозначим через <tex> \rho _1(A), \rho ^{*}_{1} (A), \overline {\rho _1}(A) </tex> ранги множества <tex> A </tex> в графе <tex> G/e </tex>, а через <tex> \rho _2(A), \rho ^{*}_{2}(A), \overline {\rho _2}(A) </tex> - ранги в графе <tex> G\backslash e </tex>. Тогда для множества <tex> A' = A\cup {e}</tex> выполняются следующие соотношения:
# Если <tex> e </tex> не петля, то <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{1} (A) </tex> и <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{1}} (A) </tex>;
# Если <tex> e </tex> не мост, то <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*}_{2} (A) </tex> и <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho _{2}} (A) </tex>;
# Если <tex> e </tex> мост, то в графе <tex> G(A') </tex> на одну компоненту связности меньше, чем в <tex> G(A) </tex>, откуда <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) - 1 </tex>. При этом ребро <tex> e </tex> не будет лишним <tex> A' </tex>, поэтому <tex> \overline{\rho} (A') = \overline {\rho} (A) </tex>.
# Если <tex> e </tex> петля, то её исключение не меняет числа компонент связности, поэтому <tex> \rho ^{*}(A') = \rho ^{*} (A) </tex>. По той же причине <tex> e </tex> является лишним, откуда <tex> \overline{\rho} (A') = 1 + \overline {\rho} (A) </tex>.
}}
Теперь, собственно, докажем связь многочлена Татта с ранговым, откуда будет следовать корректность определения для многочлена Татта:
{{Теорема
|about=
Татта
|statement=
Для любого графа <tex> G </tex> выполнено равенство <br><center><tex> T_G(u + 1, v + 1) = R_G(u, v)
</tex></center>
|proof=
...
}}
