Изменения

{{В разработке}}{{[[Категория:Математический анализ 1 курс}}]]==Начальные определения==Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».

Лекция от 06В [[Математический анализ 1 курс|математическом анализе]] используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов.09Создана немецким математиком Г.10Кантором(1870).

В математическом анализе используется "наивная" теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором<tex>a \notin A</tex> (1870объект а не принадлежит множеству А).

a ∉ 1) Перечислением элементов: <tex> A (обьект а не принадлежит множеству А)= \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>

Задание множеств2) Заданием определенного свойства обьектов:<tex> A = \{a: P\} </tex> , где P {{---}} определенное свойство обьекта а

1) Перечислением элементов: A = {a1, a₂, ..., a_n}=Операции==

2# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>)) Заданием определенного свойства обьектов;# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A ) \wedge (x \in B) </tex>);# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;# <tex> \varnothing </tex> {{---}} пустое множество:#* <tex> A \cup \varnothing = A </tex>#* <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>#* <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex># <tex> \bigcup\limits_{a\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств: P#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} &laquo;множество всего&raquo;, где P &laquo;универсальное множество&raquo;;# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{- определенное свойство обьекта а--}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.

1{{Теорема|about=де Моргана|statement= <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>|proof=Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств) A ⊂ B .# <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x \in \left (A является подмножеством B\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1}</tex>. Следовательно, каждый элемент из А также принадлежит <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.#* В; ∀ силу выбора <tex>x ∈ A ⇒ </tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.# <tex>\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x ∈ B\in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right );</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>#* Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.}}

2) A ∩ B (Пересечение множеств А Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и В: (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)); 3) A ∪ B (Обьединение пересечения множеств А и В: (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)); 4) B \ A (Разность множеств: (x ∈ B) ∧ (x ∉ A)); 5) ∅ - пустое множество. A ∪ ∅ = A; A ∩ ∅ = ∅; ∀ A: ∅ ⊂ A <math>\bigcup_{\alpha\in W} A_\alpha</math> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств: <math>\bigcup_{j \in R} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </math> ... <math> \bigcup_{0 < x < 1} A_x </math> <math> \bigcap_{\alpha \in W} A_{\alpha} </math> То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и так далее. Aпересечения, B, Cможно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот... ⊂ U - "множество всего". <math>\overline{A} = U </math> \ <math> A</math> - дополнение множества АНапример, дополнительное множество к А до U;из равенстваТеорема(Де-Морган): <math>\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} </math> <math>\overline{\bigcap A_\alpha} = \bigcup \overline{A_\alpha}; </math> <tex>(A \overline{cup B) \bigcup A_\alpha} cap C = (A \bigcap cap C) \overline{A_cup (B \alpha} cap C)</tex>следует равенство :<tex>(A \overline{cap B) \bigcap A_\alpha} cup C = (A \bigcup cup C) \overline{A_cap (B \alpha}; cup C)</tex>. <amsmath>\label{eДоказывается это следующим образом:barwq}\begin{split}H_c&=\frac{1}{2n} \sum^n_{l=0}(-1)^{l}(n-{l})^{p-2}\sum_{l _1+\dots+ l _p=l}\prod^p_{i=1} \binom{n_i}{l _i}\\&\quad\cdot[(n-l )-(n_i-l _i)]^{n_i-l _i}\\&\quad\cdot\Bigl[(n-l )^2-\sum^p_{j=1}(n_i-l _i)^2\Bigr]равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.\end{split}</amsmath>