Изменения

Лекция от 06.09.10. =Начальные определения=Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как "совокупность объектов, объединенных общим свойством". В [[Математический анализ 1 курс|математическом анализе ]] используется "наивная" «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).

==Задание множеств==

2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P {{- --}} определенное свойство обьекта а =Операции= 1) <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>); 2) <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>); 3) <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>); 4) <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;

# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>));# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in B) \wedge (x \notin A) </tex>;# <tex> \varnothing </tex> {{---}} пустое множество:#* <tex> A \cup \varnothing = A </tex>#* <tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>#* <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex># <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> {{---}} объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} &laquo;множество всего&raquo;, &laquo;универсальное множество&raquo;;# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.

<tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>= Теорема де Моргана ==

<tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex> <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств: <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...Теорема <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex> <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее.. <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> - "множество всего". <tex>\overline{A} |about= U </tex> \ <tex> A </tex> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U; {{Теорема де Моргана

||proof=????????Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).# <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.#* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.# <tex>\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>#* Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда для любого <tex>\alpha</tex> <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex>, то есть, <tex>x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha</tex>, то есть, <tex>x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>#* Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.