Изменения
→Операции
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
==Начальные определения==
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
==Операции==
# <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>));
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>);
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>);
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..
# <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество».;# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;. == Теорема де Моргана ==
{{Теорема
|about=
|statement=
<tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\
\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>
|proof=
}}
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
:<tex>(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)</tex> следует равенство
:<tex>(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)</tex>.
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.
