Множества — различия между версиями
(→Операции) |
|||
(не показаны 4 промежуточные версии 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] | ||
− | |||
− | |||
− | |||
==Начальные определения== | ==Начальные определения== | ||
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством». | Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством». | ||
Строка 20: | Строка 17: | ||
==Операции== | ==Операции== | ||
− | # <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>); | + | # <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B </tex>)); |
# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>); | # <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> (x \in A) \wedge (x \in B) </tex>); | ||
# <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>); | # <tex> A \cup B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in A) \vee (x \in B) </tex>); | ||
Строка 32: | Строка 29: | ||
#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex> | #* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex> | ||
#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее.. | #* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее.. | ||
− | # <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество» | + | # <tex> A \cup B \cup C ... \subseteq U </tex> {{---}} «множество всего», «универсальное множество»; |
− | # <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U | + | # <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> {{---}} дополнение множества А, дополнительное множество к А до U. |
== Теорема де Моргана == | == Теорема де Моргана == | ||
Строка 47: | Строка 44: | ||
Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств). | Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств). | ||
# <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex> | # <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex> | ||
− | #* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, | + | #* Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, не существует <tex>\alpha_1</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_1}</tex>. Следовательно, <tex>x \in \overline{A_\alpha}</tex> для любого <tex>\alpha</tex> и <tex>x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. |
#* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение. | #* В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение. | ||
# <tex>\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex> | # <tex>\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex> |
Версия 01:11, 10 февраля 2015
Начальные определения
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
В математическом анализе используется «наивная» теория множеств, которая является удобным языком описания фактов. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870).
(объект а принадлежит множеству А)
(объект а не принадлежит множеству А)
Задание множеств
1) Перечислением элементов:
2) Заданием определенного свойства обьектов:
, где P — определенное свойство обьекта аОперации
- (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В ( ));
- (Пересечение множеств А и В: );
- (Объединение множеств А и В: );
- (Разность множеств: ;
-
-
- ...
- , и так далее..
— объединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:
- — «множество всего», «универсальное множество»;
- \ — дополнение множества А, дополнительное множество к А до U.
Теорема де Моргана
Теорема (де Моргана): |
Доказательство: |
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств).
|
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
- следует равенство
- .
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.