Изменения

{{В разработке}}{{[[Категория:Математический анализ 1 курс}}]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]

{{Определение|definition=''Множество '' {{- --}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как "Представляет собой набор, совокупность обьектовкаких-либо объектов, обьединенных объединенных общим свойством".}}

В математическом анализе используется "наивная" теория множеств{{Определение|definition=Объекты, из которых состоит множество, которая является удобным языком описания фактовназывают ''элементами'' этого множества. Создана немецким математиком ГЕсли <tex>a</tex> {{---}} элемент множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \in A</tex> («<tex>a</tex> принадлежит <tex>A</tex>»). КанторомЕсли <tex>a</tex> не является элементом множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \notin A</tex> (1870«<tex>a</tex> не принадлежит <tex>A</tex>»).В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.}}

1) Перечислением элементов: A = {a1, a₂=== Описание ====Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка.В таком случае множества определяются свойствами их элементов.., a_n}

2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: \mid P\}</tex> , где <tex>P </tex> {{-- -}} определенное свойство обьекта аэлемента <tex>a</tex>.

1) Два множества <tex>A ⊂ </tex> и <tex>B (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В; ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B);</tex> могут вступать друг с другом в различные отношения.

2) ==== Включение ====* <tex>A ∩ </tex> включено в <tex>B (Пересечение множеств А </tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и Вмножеству <tex>B</tex> : (x ∈ *: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A) ∧ (x ∈ \ \colon \ a\in B));</tex>

3) * <tex>A ∪ </tex> включает <tex>B (Обьединение множеств А и В</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>: (x ∈ *: <tex>{\displaystyle A) ∨ (x ∈ \supseteq B));\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>

4) * <tex>A</tex> строго включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> включено в <tex>B </tex>, но не равно ему:*: <tex>{\ displaystyle A \subset B\Leftrightarrow (Разность множеств: (x ∈ A\subseteq B) ∧ \land (x ∉ A\neq B));}</tex>

5) ∅ - пустое множество. ==== Равенство ====* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:*: <tex>{\displaystyle A ∪ ∅ = B\Leftrightarrow (A;\subseteq B)\land (B\subseteq A)}</tex>

==== Общие элементы ====* <tex>A ∩ ∅ = ∅;</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>

{{Определение|definition=''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <mathtex>\bigcup_{j \in R} A_j = A_1 \cup A_2 \cup varnothing</mathtex> ...}}

{{Определение|definition=''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <mathtex> \bigcup_\displaystyle \mathbb {0 < x < 1U} A_x </mathtex>.}}

* Пересечение <mathtex>\overline{A} = U </mathtex> и <tex>B</tex> \ . *: <mathtex> {\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\land x\in B\}}</mathtex> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;

Теорема(Де-Морган)* Объединение <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *:<tex>{\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex>

* Разность <mathtex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>\overline{\bigcup A_displaystyle A\alpha} setminus B = A\bigcap cap {\overline{A_B}}=\{x\mid x\in A\land x\alphanotin B\}} </mathtex>

* Симметрическая разность <mathtex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex> {\overline{displaystyle A \bigcap A_bigtriangleup B \alpha} equiv A - B = (A \bigcup cup B) \overline{A_setminus (A \alphacap B) }; </mathtex>

<tex>\overline{\bigcup A_\alpha} = \bigcap \overline{A_\alpha} </tex>=== Унарные операции над множествами ====

* Дополнение определяется следующим образом:*: <tex>{\displaystyle {{\overline{A}}\bigcap A_equiv A^{\alphacomplement } = \bigcup {x\overline{A_mid x\notin A\}}=U\alphasetminus A}; </tex>.

== Теорема де Моргана == {{Теорема|about=де Моргана|statement= <amsmathtex>\labeldisplaystyle {e:barwq}\beginoverline{split\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}H_c&=\fracbigcap\limits_\alpha \overline{1A_\alpha}\\\overline{2n\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \sum^n_bigcup\limits_\alpha \overline{lA_\alpha}} </tex>|proof=0}Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (-1частый приём при доказательстве равенства двух множеств)^. Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{l\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}\displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>. Пусть <tex>x \in \left (n-\overline{l\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}\right )^</tex>. Значит, <tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{p-2\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \sum_overline{l _1+A_\dots+ l _p=lalpha}\prod^p_Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{i=1A_\alpha} \binomright )</tex>.В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{n_i\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.  Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{l _iA_\alpha}\subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>&Пусть <tex>x \quadin \cdot[left (n-l \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )-(n_i-l _i)]^</tex>. Тогда <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{n_i-l _iA_\alpha}\Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>&Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.}} Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства:<tex>(A \quadcup B) \cdotcap C = (A \cap C) \cup (B \cap C) \Bigl[Rightarrow (n-l A \cap B)^2-\sum^p_{jcup C =1}(n_i-l _iA \cup C)^2\Bigr].cap (B \end{split}cup C)</amsmathtex>Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.