Изменения

{{В разработке}}[[Категория:Математический анализ 1 курс]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]

=Начальные определения{{Определение|definition=''Множество '' {{- --}} первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как "Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством".}} {{Определение|definition=Объекты, из которых состоит множество, называют ''элементами'' этого множества. Если <tex>a</tex> {{---}} элемент множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \in A</tex> («<tex>a</tex> принадлежит <tex>A</tex>»). Если <tex>a</tex> не является элементом множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \notin A</tex> («<tex>a</tex> не принадлежит <tex>A</tex>»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.}} ==Способы задания множеств== Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание. ==== Перечисление ====Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. <tex> A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} </tex>

В математическом анализе используется "наивная" теория множеств==== Описание ====Второй способ применяется, которая является удобным языком описания фактовкогда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. Создана немецким математиком Г. Кантором(1870)В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

<tex>A = \{a \in Amid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{---}} определенное свойство элемента <tex>a</tex> (объект а принадлежит множеству А).

1) Перечислением элементов==== Включение ====* <tex>A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> : *: <tex> \displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\} colon \ a\in B</tex>

2) Заданием определенного свойства обьектов* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:*: <tex> {\displaystyle A = \{a: Psupseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A} </tex> , где P - определенное свойство обьекта а

1) ==== Равенство ====* <tex> A \subset </tex> равно <tex>B </tex> (, если <tex>A является подмножеством </tex> и <tex>B, каждый элемент из А также принадлежит В (</tex> включены друг в друга:*: <tex> {\forall x: x displaystyle A=B\in Leftrightarrow (A \Rightarrow x subseteq B)\in land (B \subseteq A)}</tex>);

2) ==== Общие элементы ====* <tex> A \cap </tex> и <tex>B </tex> (Пересечение множеств А не пересекаются, если у них нет общих элементов:*: <tex>A</tex> и В: <tex> (x B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A) \wedge (x \in colon a\notin B) }</tex>);

5) {{Определение|definition=''Пустое множество'' {{---}} множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex> \varnothing </tex> - пустое множество:.}}

{{Определение|definition=''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> A \cup \varnothing = A displaystyle \mathbb {U}</tex>.}}

<tex> A \cap \varnothing = \varnothing </tex>= Операции над множествами ==

* Пересечение <tex> A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>{\bigcupdisplaystyle A\cap B =\limits_{x\alphamid x\in WA\land x\in B\}} A_\alpha</tex> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:

* Объединение <tex> A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>{\bigcupdisplaystyle A\cup B =\limits_{j x\mid x\in N} A_j = A_1 A\lor x\cup A_2 in B\cup }}</tex> ...

* Разность <tex> A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\bigcupoverline {B}}=\limits_{0 < x < 1\mid x\in A\land x\notin B\}} A_x </tex>

* Симметрическая разность <tex> A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex> {\displaystyle A \bigcupbigtriangleup B \limits_{equiv A - B = (A \alpha cup B) \in W} A_{setminus (A \alphacap B) } </tex>, и так далее..

* Дополнение определяется следующим образом:*: <tex>{\displaystyle {{\overline{A}}\equiv A^{\complement }=\{x\mid x\notin A\}} = U </tex> \ <tex> setminus A }</tex> - дополнение множества А, дополнительное множество к А до U;. == Теорема де Моргана ==

Де де Моргана

<tex>\displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>

????????Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично.Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств). Сначала докажем, что <tex> \ \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex>. Пусть <tex>x \in \left ( \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, <tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>. Следовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>.В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex>) следует искомое включение.  Теперь докажем, что <tex> \ \displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha}</tex> Пусть <tex>x \in \left ( \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>. Тогда <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \notin A_\alpha</tex>. Поскольку <tex>x</tex> не входит ни в одно объединяемое множество, то <tex>x \notin \bigcup\limits_\alpha A_\alpha \Rightarrow x \in \overline{\bigcup\limits_{\alpha} A_\alpha}</tex>Аналогично, в силу выбора <tex>x</tex> выполняется искомое включение.