Модуль непрерывности функции

Эта статья находится в разработке!

Определение:

Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если: [math]\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)[/math] [math]\omega (t)[/math] не убывает [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math] (полуаддитивность)

Свойства модулей непрерывности

1) [math]\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \omega (nt) \le n \omega (t)[/math]
Доказательство ведётся по индукции. Для [math]n = 1[/math] неравенство тривиально.
Пусть утверждение верно для [math]n[/math]. Тогда [math]\omega((n + 1) t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \omega (t)[/math], что и требовалось доказать.

2) [math]\forall \lambda \gt 0[/math] [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)[/math]

Доказательство: [math]\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1[/math]

[math]\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\ \ \le\ \ (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\ \ \le\ \ (1 + \lambda) \omega (t)[/math]

3) Пусть для некоторой функции [math]\omega[/math] выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция [math]\frac{\omega(t)}t[/math] убывает. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
Видно, что треубется доказать только полуаддитивность. [math]\omega(t_1) + \omega(t_2) - t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2}[/math], [math]t_1 + t_2 \gt t_1, t_2[/math].
[math]\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}[/math]. [math]\omega(t_1) + \omega(t_2) \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2)[/math].

4) Пусть [math]\omega[/math] удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
Докажем, опираясь на пункт 3. Покажем, что [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] убывает.
[math]0 \lt t_1 \lt t_2[/math], [math]t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2[/math] - выпуклая комбинация 0 и [math]t_2[/math].
Из выпуклости следует: [math]\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)[/math]. Но [math]\omega(0) = 0[/math], следовательно, [math]\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}[/math], то есть, функция [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] является убывающей.