Модуль непрерывности функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 31: Строка 31:
 
<tex>\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} > 0</tex> - функция возрастает.<br />
 
<tex>\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} > 0</tex> - функция возрастает.<br />
 
<tex>\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} < 0</tex> - функция является выпуклой вверх.
 
<tex>\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} < 0</tex> - функция является выпуклой вверх.
 +
 +
Из этого факта следует неравенство <tex>\frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \leq \frac{t_1}{1 + t_1} + \frac{t_2}{1 + t_2}</tex>
  
 
== Теорема о выпуклом модуле непрерывности ==
 
== Теорема о выпуклом модуле непрерывности ==
 
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.
 
Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>.
  
Важное значение имеет следующая теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:
+
Важное значение имеет теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
|statement=
Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F</tex>, занумерованных индексом <tex>\alpha</tex>. Пусть <tex>f(t) = \inf\limits_{\alpha} f_{\alpha} (t)</tex>. Тогда <tex>f(t)</tex> - также выпуклая функция.
+
Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F_\alpha(t), \alpha \in A</tex>. Тогда <tex>f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)</tex> &mdash; также выпуклая функция.
 
|proof=
 
|proof=
 
Требуется показать, что:
 
Требуется показать, что:
 
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2), \ \beta \in [0; 1]</tex><br />
 
:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2), \ \beta \in [0; 1]</tex><br />
Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha</tex> верно:
+
Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha \in A</tex> верно:
 
:<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)</tex>.<br />
 
:<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)</tex>.<br />
 
Но, по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,
 
Но, по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,
Строка 54: Строка 56:
 
о выпуклом модуле непрерывности
 
о выпуклом модуле непрерывности
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такой, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
+
Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>
 
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega(t)</tex>
 
:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega(t)</tex>
 
}}
 
}}

Версия 07:56, 18 ноября 2010

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если:
  1. [math]\omega (0) = 0 = \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)[/math]
  2. [math]\omega (t)[/math] не убывает
  3. [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math] (полуаддитивность)


Свойства модулей непрерывности

1) [math]\forall n \in \mathbb{N}[/math] верно [math] \omega (nt) \le n \omega (t)[/math]
Доказательство ведется по индукции. Для [math]n = 1[/math] неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для [math]n[/math]. Тогда [math]\omega((n + 1) t)\:\:=\:\:\omega(nt + t)\:\:\le\:\:\omega(nt) + \omega(t)\:\:\le\:\:n \omega(t) + \omega(t)\:\:=\:\:(n + 1) \omega (t)[/math], ч. т. д.

2) [math]\forall \lambda \gt 0[/math] верно [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)[/math]
Доказательство: [math]\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1[/math][math]\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\:\:\le\:\:(\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\:\:\le\:\:(1 + \lambda) \omega (t)[/math]

3) Пусть для некоторой функции [math]\omega[/math] выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция [math]\frac{\omega(t)}t[/math] убывает. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
Видно, что треубется доказать только полуаддитивность. Т. к. [math]t_1, t_2 \lt t_1 + t_2[/math], то [math]\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}[/math]. Тогда [math]\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) [/math].

4) Пусть [math]\omega[/math] удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда [math]\omega[/math] - модуль непрерывности.
Докажем, опираясь на пункт 3. Покажем, что [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] убывает.
[math]0 \lt t_1 \lt t_2[/math], [math]t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2[/math] - выпуклая комбинация 0 и [math]t_2[/math].
Из выпуклости следует: [math]\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)[/math]. Но [math]\omega(0) = 0[/math], следовательно, [math]\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}[/math], то есть, функция [math]\frac{\omega(t)}{t}[/math] является убывающей.

Примеры

По свойству четыре видно, что можно построить сколь угодно много модулей непрерывности. Например, [math]\omega (t) = \frac{t}{t + 1}[/math] является модулем непрерывности.
[math]\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} \gt 0[/math] - функция возрастает.
[math]\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} \lt 0[/math] - функция является выпуклой вверх.

Из этого факта следует неравенство [math]\frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \leq \frac{t_1}{1 + t_1} + \frac{t_2}{1 + t_2}[/math]

Теорема о выпуклом модуле непрерывности

Класс модулей непрерывности обозначим [math]\Omega[/math]. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим [math]\Omega^*[/math].

Важное значение имеет теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте:

Утверждение:
Пусть имеется семейство выпуклых функций [math]F_\alpha(t), \alpha \in A[/math]. Тогда [math]f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)[/math] — также выпуклая функция.
[math]\triangleright[/math]

Требуется показать, что:

[math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2), \ \beta \in [0; 1][/math]

Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого [math]\alpha \in A[/math] верно:

[math]\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)[/math].

Но, по определению [math]f(t) \le f_{\alpha}(t)[/math], следовательно,

[math]\beta f(t_1) + (1 - \beta) f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) t_2)[/math].
Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества [math]F[/math], получаем искомое неравенство.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (о выпуклом модуле непрерывности):
Пусть [math]\omega \in \Omega[/math]. Тогда существует [math]\omega^* \in \Omega^*[/math] такая, что [math]\forall \lambda, t \ge 0[/math]
[math]\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega(t)[/math]