Изменения

[[Отображения|Функция ]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:# <tex>\omega (0) = 0= \lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t)</tex># <tex>\omega (t_1) < \omega (t_2t)</tex> для <tex>t_1, t_2: 0 \le t_1 < t_2</tex>неубывает# <tex>\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)</tex>(полуаддитивность)

1) {{Утверждение|statement=<tex>\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow </tex>: <tex> \omega (nt) \le n \omega (t)</tex><br />|about=свойство №1|proof=Доказательство ведётся ведется по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально.<br />Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) \cdot t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \cdot \omega (t)</tex>, ч. т. д.}} {{Утверждение|statement=<tex>\forall \lambda > 0</tex>: <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>|about=свойство №2|proof=Доказательство: <tex>\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1</tex>.<br /><tex>\omega(\lambda t) \le \omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) \cdot t) \le (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\cdot \omega (t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>}} {{Утверждение|statement=Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> не возрастает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.|about=свойство №3|proof=Видно, что требуется доказать только полуаддитивность.Т. к. <tex>t_1, t_2 < t_1 + t_2</tex>, то <tex>\frac{\omega (t_1)}{t_1}, \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2}</tex>.Тогда <tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) </tex>.}} {{Утверждение|statement=Пусть <tex>\omega</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.|about=свойство №4|proof=Докажем, опираясь на свойство 3. Покажем, что <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> убывает.<br /><tex>0 < t_1 < t_2</tex>, <tex>t_1 = \left(1 - \frac{t_1}{t_2}\right) \cdot 0 + \frac{t_1}{t_2} \cdot t_2</tex> - выпуклая комбинация 0 и <tex>t_2</tex>.<br />Из выпуклости следует: <tex>\omega(t_1) \ge \left( 1 - \frac{t_1}{t_2} \right) \cdot \omega(0) + \frac{t_1}{t_2} \cdot \omega(t_2)</tex>. Но <tex>\omega(0) = 0</tex>, следовательно, <tex>\frac{\omega(t_1)}{t_1} \ge \frac{\omega(t_2)}{t_2}</tex>, то есть, функция <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> является убывающей.}} == Примеры == По свойству четыре видно, что можно построить сколь угодно много модулей непрерывности. Например, <tex>\omega (t) = \frac{t}{t + 1}</tex> является модулем непрерывности.<br /><tex>\omega'(t) = \frac{(1 + t) - t}{(t + 1)^2} = \frac{1}{(1 + t)^2} > 0</tex> - функция возрастает.<br /><tex>\omega''(t) = -\frac{2}{(t + 1)^3} < 0</tex> - функция является выпуклой вверх. Из этого факта следует неравенство <tex>\frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} \leq \frac{t_1}{1 + t_1} + \frac{t_2}{1 + t_2}</tex> == Теорема о выпуклом модуле непрерывности ==Класс модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega</tex>. Класс выпуклых вверх модулей непрерывности обозначим <tex>\Omega^*</tex>. Важное значение имеет теорема о выпуклом модуле непрерывности, которая основывается на следующем факте: {{Утверждение|statement=Пусть имеется семейство выпуклых функций <tex>F_\alpha(t), \alpha \in A</tex>. Тогда <tex>f(t) = \inf\limits_{\alpha \in A} f_{\alpha} (t)</tex> &mdash; также выпуклая функция.|proof=Требуется показать, что::<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \qquad \beta \in [0; 1]</tex><br />Так как все функции семейства выпуклы вверх, то для любого <tex>\alpha \in A</tex> верно::<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) \cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />Но по определению <tex>f(t) \le f_{\alpha}(t)</tex>, следовательно,:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />Переходя в правой части неравенства к нижней грани множества <tex>F</tex>, получаем искомое неравенство.}} {{Теорема|about=о выпуклом модуле непрерывности|statement=Пусть <tex>\omega \in \Omega</tex>. Тогда существует <tex>\omega^* \in \Omega^*</tex> такая, что <tex>\forall \lambda, t \ge 0</tex>:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>|proof=По свойству 2 имеем <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex> для всех <tex>\lambda</tex> и <tex>t \ge 0</tex>. Обозначим <tex>u = \lambda t</tex>, тогда <tex>\lambda = \frac ut</tex>. Перепишем равенство <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Определим теперь функцию <tex>\omega^*(u) = \inf\limits_{t > 0}\,(1 + \frac ut)\cdot\omega(t)</tex>.Рассмотрим семейство функций <tex> \tilde \omega(u)_t = (1 + \frac ut)\cdot\omega(t), t > 0</tex>. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда <tex>\omega^*(u)</tex> выпукла вверх по доказанному выше факту. Докажем теперь, что <tex>\omega^*(u)</tex> - модуль непрерывности. Действительно,#<tex>\omega^*</tex> выпукла вверх#<tex>\omega^*(0) = \inf\limits_{t > 0}\,{\omega(t)} = 0</tex> (т. к. <tex>\lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t) = 0</tex> )#<tex>\omega^*</tex> неубывает. В самом деле, <tex>u_1 \le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\cdot\omega(t)</tex>. Переходя к нижним граням обеих частей последнего неравенства, получаем <tex>u_1 \le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \le \omega^*(u_2)</tex>. По свойству №2 модулей непрерывности <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и требовалось доказатьиспользуя определение функции <tex>\omega^*(u)</tex>, получим требуемые в условии теоремы неравенства. Итак, построенная нами функция <tex>\omega^*(t)</tex> является модулем непрерывности, выпукла вверх и удовлетворяет указанным в условии теореме неравенствам.}} == Модуль непрерывности функции ==Пусть <tex>f</tex> - функция, непрерывная на <tex>[a; b]</tex>. Пусть <tex>h \ge 0</tex>. Положим:<tex>\omega(f, h) = \sup\limits_{|x'' - x'| \le h}\,|f(x'') - f(x')|</tex>. Можно проверить, что представленная функция является модулем непрерывности. В силу построения такая функция называется модулем непрерывности функции <tex>f</tex>. Рассмотрим множество выпуклых вверх модулей непрерывности, мажорирующих модуль непрерывности функции <tex>f</tex>::<tex>\omega^* \in \Omega^*: \omega(f, h) \le \omega^*(h) \qquad \forall h \ge 0</tex>. Опеределим <tex>\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)}\,\omega^*(h)</tex>, где <tex>\Omega^*(f)</tex> - класс выпуклых мажорант функции <tex>f</tex> (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству).

2) Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции <tex>\forall \lambda > 0f</tex> <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)</tex><br />.

ДоказательствоПо доказанной выше теореме получаем следующее следствие:: <tex>\omega(f, \lambda h) \le \lflooromega^* (f, \lambdah) \rfloor le (1 + 1\lambda)\cdot\omega(f, h) \qquad \forall\lambda, h \ge 0</tex>, а также::<tex>\omega(f, h) \le \omega^* (f, h) \le 2 \omega(f, h)</tex>

<tex>\omega(\lambda t)\[[Категория:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\ \ \le\ \ (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\ \ \le\ \ (Математический анализ 1 + \lambda) \omega (t)</tex>курс]]