Изменения

[[Отображения|Функция ]] <tex>\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+</tex> называется модулем непрерывности, если:

# <tex>\omega (t)</tex> не убываетнеубывает

1) {{Утверждение|statement=<tex>\forall n \in \mathbb{N}</tex> верно : <tex> \omega (nt) \le n \omega (t)</tex><br />|about=свойство №1|proof=Доказательство ведется по индукции. Для <tex>n = 1</tex> неравенство тривиально. Пусть утверждение верно для <tex>n</tex>. Тогда <tex>\omega((n + 1) \cdot t)\:\:=\:\:\omega(nt + t)\:\:\le\:\:\omega(nt) + \omega(t)\:\:\le\:\:n \omega(t) + \omega(t)\:\:=\:\:(n + 1) \cdot \omega (t)</tex>, ч. т. д.}}

2) {{Утверждение|statement=<tex>\forall \lambda > 0</tex> верно : <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex><br />|about=свойство №2|proof=Доказательство: <tex>\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1</tex>.<br /><tex>\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) \cdot t)\:\:\le\:\:(\lfloor\lambda\rfloor + 1)\cdot \omega (t)\:\:\le\:\:(1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex>}}

3) {{Утверждение|statement=Пусть для некоторой функции <tex>\omega</tex> выполняются аксиомы 1 и 2 определения, и функция <tex>\frac{\omega(t)}t</tex> убываетне возрастает. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />|about=свойство №3|proof=Видно, что треубется требуется доказать только полуаддитивность.

Тогда <tex>\omega(t_1) + \omega(t_2) = t_1 \cdot \frac{\omega(t_1)}{t_1} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_2)}{t_2} \ge t_1 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} + t_2 \cdot \frac{\omega(t_1 + t_2)}{t_1 + t_2} = \omega(t_1 + t_2) </tex>.<br/>}}

4) {{Утверждение|statement=Пусть <tex>\omega</tex> удовлетворяет аксиомам 1 и 2 определения и является выпуклой вверх. Тогда <tex>\omega</tex> - модуль непрерывности.<br />|about=свойство №4|proof=Докажем, опираясь на пункт свойство 3. Покажем, что <tex>\frac{\omega(t)}{t}</tex> убывает.<br />

:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2), \ qquad \beta \in [0; 1]</tex><br />

:<tex>\beta f_{\alpha}(t_1) + (1 - \beta) \cdot f_{\alpha}(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />

:<tex>\beta f(t_1) + (1 - \beta) \cdot f(t_2) \le f_{\alpha}(\beta t_1 + (1 - \beta) \cdot t_2)</tex>.<br />

:<tex>\omega(\lambda t) \le \omega^* (\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega(t)</tex>

По св-ву свойству 2 имеем <tex>\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \cdot \omega (t)</tex> для всех <tex>\lambda</tex> и <tex>t \geq ge 0</tex>. Обозначим <tex>u = \lambda t</tex>, тогда <tex>\lambda = \frac ut</tex>.

Перепишем равенство : <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Определим теперь функцию <tex>\omega^*(u) = \inf\limits_{t > 0} \,(1 + \frac ut)\cdot\omega(t)</tex>.Рассмотрим семейство функций <tex> \tilde \omega(u)_t = (1 + \frac ut)\cdot\omega(t), t > 0</tex>. Каждая функция из этого семейства выпукла как линейная. Но тогда <tex>\omega^*(u)</tex> выпукла вверх по доказанному выше факту.

#<tex>\omega^*(0) = \inf\limits_{t > 0}\,{\omega(t)} = 0</tex> (т. к. <tex>\lim \limits_{t \to +0} \,\omega(t) = 0</tex> )#<tex>\omega^*</tex> не убываетнеубывает. В самом деле, <tex>u_1 \leq le u_2 \Rightarrow (1 + \frac{u_1}t)\cdot\omega(t) \leq (1 + \frac{u_2}t)\cdot\omega(t)</tex>. Переходя к инфимумам нижним граням обеих частей последнего неравенства, получаем <tex>u_1 \leq le u_2 \Rightarrow \omega^*(u_1) \leq le \omega^*(u_2)</tex>.

Еще раз вспомним св-во № 2 По свойству №2 модулей непрерывности : <tex>\omega(u) \le (1 + \frac ut) \cdot \omega (t)</tex>. Рассматривая точные нижние грани обеих частей и используя определение ф-ции функции <tex>\omega^*(u)</tex>, получим требуемые в условии теоремы неравенства (объяснение того, как именно эти неравенства получаются, довольно тяжело описать словами, поэтому лучше его проделать самому - прим. наборщика).

Опеределим <tex>\omega^*(f, h) = \inf\limits_{\omega^* \in \Omega^*(f)}}\,\omega^*(h)</tex>, где <tex>\Omega^*(f)</tex> - класс выпуклых мажорант функции <tex>f</tex> (то есть, все модули непрерывности, удовлетворяющие написанному выше неравенству). Очевидно, что мы получаем выпуклый вверх модуль непрерывности. Его принято называть выпуклым модулем непрерывности функции <tex>f</tex>.