Изменения

Пара Кортеж <tex>\langle G,\cdot : G \times G \to G, \varepsilon \in G \rangle</tex> называется [[моноид|моноидом]], если она он удовлетворяет следующим аксиомам:* Операция Бинарная операция <tex> \cdot \colon G \times G \rightarrow G </tex> — определена везде и [[Ассоциативная операция | ''ассоциативна'']].* Существует нейтральный элемент <tex> \varepsilon </tex> называется нейтральным элементом относительно <tex>\in G cdot</tex> относительно бинарной операции такой, чтото есть для него выполняется:

Другими словами, моноид {{---}} это [[Полугруппа|полугруппа]], в которую добавлен нейтральный элемент. Например,  == Примеры == * множество натуральных чисел <tex> \mathbb{N} </tex> с операцией сложения не является моноидом<tex>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle</tex>* множество положительных целых <tex> \mathbb{Z}_+ </tex> с операцией умножения является моноидом <tex>\langle\mathbb{Z}_+, \cdot, а 1 \rangle</tex>* множество натуральных числел с операцией умножения является моноидом <tex>\langle \mathbb{N}, \cdot, 1 \rangle</tex> с нейтральным элементом <tex>1</tex> (наличие нуля не мешает этой структуре быть моноидом: <tex>1 \cdot 0 = 0</tex>, как того и требует аксиома нейтрального элемента), но тройка <tex>\langle \mathbb{N}, \cdot, 0 \rangle</tex> моноидом уже не является. == Свойства ==

'''Свободным моноидомГомоморфизмом моноидов''' (англ. ''free monoidhomomorphism'') <tex> \langle M , \cdot_M, \varepsilon_M \rangle </tex> над множеством и <tex> S \langle N, \cdot_N, \varepsilon_N \rangle </tex> называется отображение <tex>(\varphi \colon M \rightarrow N</tex>обозначается как совместимое с операциями из <tex> M_S )M </tex> называется моноид над множеством и <tex> N </tex> S^, то есть такое, что: * <tex>\varphi(\varepsilon_M) = \varepsilon_N</tex> {{---}} набором всевозможных элементов* <tex> \forall x, полученных конечным числом применений ассоциативной операции к элементам исходного множества.y \in M \colon \varphi(x\cdot_M y) = \varphi(x) \cdot_N \varphi(y)</tex>

* тривиальный пример: множество == Свободный моноид над множеством == {{Определение|definition='''Свободным моноидом''' (англ. ''free monoid'') <tex> S = \{\varnothing\} M </tex> и операция '''над множеством''' <tex> \cup S </tex>. Тогда <tex> S^* = \{\varnothing\} (</tex>, что, очевидно, является моноидом с операцией обозначается как <tex>\cupM_S )</tex>.называется моноид над множеством <tex> S^* </tex> S = \{0{---}} набором всевозможных последовательностей (или списков) конечной длины (в том числе и нулевой), 1\} образованных из элементов множества <tex> S </tex>, операция {{---}} сложение. Тогда с ассоциативной операцией [[Основные определения: алфавит, слово, язык, конкатенация, свободный моноид слов; операции над языками#defconcat|конкатенации]] <tex>S^* = \mathbbtexttt{N++}</tex>, так как любое натуральное число является либо нулем, либо суммой конечного числа единицэтих последовательностей.}}=== Примеры свободного моноида над множеством ===

Дадим теперь более формальное определение* тривиальный пример: множество <tex> S = \varnothing </tex>.Тогда <tex> S^* = \{\varnothing\} </tex>.* <tex> S = \{1\} </tex>. Тогда <tex>S^* = \{[], [1], [1, 1], ... \} </tex>. == Свободный моноид ==

'''Свободным моноидом''' над множеством Моноид <tex> S M</tex> называется моноид <tex> M </tex> вместе с отображением <tex> i\colon S \rightarrow M </tex> при условии'''свободным''', что для любого моноида <tex> N </tex> и для любых отображений <tex> f \colon S \rightarrow N </tex> существует уникальный если он [[Гомоморфизм Изоморфизм групп | гомоморфизмизоморфен]] моноидов <tex> \overline{f} \colon M_S \rightarrow N </tex> такой, что <tex> \overline{f} \circ i = f </tex>некоторому свободному моноиду над каким-то множеством.

Это наглядно показано следующей картинкой.=== Примеры свободного моноида === * <tex>\langle \mathbb{N}, +, 0 \rangle </tex> {{---}} пример свободного моноида, так как он изоморфен свободному моноиду над <tex>S = \{1\}</tex>: ** <tex>i(0) = []</tex>** <tex>i(a + b) = i(a) ~ \texttt{++} ~ i(b)</tex>

== Ссылки Источники информации ==* [[wikipedia:Monoid | Wikipedia {{---}} Monoid ]]* [[wikipedia:ru:Моноид | Википедия {{---}} Моноид ]]