Моноид — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 24: Строка 24:
 
}}
 
}}
 
Это наглядно показано следующей картинкой.
 
Это наглядно показано следующей картинкой.
TODO: картинка
+
 
 +
[[Файл:FreeMonoidDefinition.png]]
  
 
Если <tex> S </tex> является подмножеством <tex> M </tex>, то отображение <tex> i </tex> называют '''естественным вложением''' (англ. ''natural injection''), и пишут <tex> i \colon S \hookrightarrow M </tex>.
 
Если <tex> S </tex> является подмножеством <tex> M </tex>, то отображение <tex> i </tex> называют '''естественным вложением''' (англ. ''natural injection''), и пишут <tex> i \colon S \hookrightarrow M </tex>.
Строка 30: Строка 31:
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
 
* [http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Free_Monoid Proof Wiki {{---}} Free monoid]
 
* [http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Free_Monoid Proof Wiki {{---}} Free monoid]
 +
 +
[[Категория:Алгебра]]

Версия 14:36, 6 ноября 2013

Определение:
Полугруппа [math]\langle G,\cdot\rangle[/math] называется моноидом, если в множестве [math]G[/math] существует элемент, нейтральный относительно операции полугруппы:
[math]\exists e\in G : \forall x\in G : e\cdot x=x \cdot e=x[/math]. Иногда его обозначают [math] e_G [/math].
Утверждение (О единственности нейтрального элемента):
Нейтральный элемент в моноиде единственен.
[math]\triangleright[/math]
Действительно, путь [math]e_1[/math] и [math]e_2[/math] — два нейтральных элемента. Тогда имеем: [math]e_1 = e_1\cdot e_2 = e_2[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

  • Множество действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] c операцией умножения или сложения (нейтральными элементами являются 1 и 0 соответственно).
  • Множество строк из [math] \Sigma^* [/math] с операцией конкатенацией и нейтральным элементом — пустой строкой (обозначаемой [math]\varepsilon[/math]).
Определение:
Гомоморфизмом моноидов (англ. monoid homomorphism) [math]M[/math] и [math]N[/math] называется отображение [math]\varphi \colon M \rightarrow N[/math] совместимое с операциями из [math] M [/math] и [math] N [/math] такое, что [math] \forall m, m' \in M \colon \varphi(m\cdot m') = \varphi(m) \cdot \varphi(n)[/math], а также [math]\varphi(e_M) = e_N[/math].


Определение:
Свободным моноидом (англ. free monoid) над множеством [math] S [/math] называется моноид [math] M [/math] вместе с отображением [math] i\colon S \rightarrow M [/math] при условии, что для любого моноида [math] N [/math] и для любых отображений [math] f \colon S \rightarrow N [/math] существует единственный гомоморфизм моноидов [math] \overline{f} \colon M(S) \rightarrow N [/math] такой, что [math] \overline{f} \circ i = f [/math].

Это наглядно показано следующей картинкой.

FreeMonoidDefinition.png

Если [math] S [/math] является подмножеством [math] M [/math], то отображение [math] i [/math] называют естественным вложением (англ. natural injection), и пишут [math] i \colon S \hookrightarrow M [/math].

Ссылки