Просмотр исходного текста страницы Мост, эквивалентные определения

Пусть <tex> G </tex> - связный граф.
{{Определение
|definition=
(1) Мост графа <tex>G</tex> - ребро, соединяющее как минимум две компоненты реберной двусвязности <tex>G</tex>.
}}

{{Определение
|definition=
(2) Мост графа <tex>G</tex> - ребро, при удалении которого граф <tex>G</tex> становится несвязным.
}}

{{Определение
|definition=
(3) Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если в <tex>G</tex> существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что любой простой путь между этими вершинами проходит через ребро <tex>x.</tex>
}}

{{Определение
|definition=
(4) Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если существует разбиение множества вершин <tex>V</tex> на такие множества <tex>U</tex> и <tex>W</tex>, что <tex>\forall u \in U</tex> и <tex>\forall w \in W</tex> ребро <tex>x</tex> принадлежит любому простому пути <tex>u \rightsquigarrow w</tex>
}}

{{Теорема
|statement = Определения (1), (2), (3) и (4) эквивалентны.
|proof = 
<tex>(1) \Rightarrow (2)</tex> Пусть ребро <tex>x</tex> соединяет вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Пусть граф <tex> G - {x} </tex> - связный. Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существует еще один путь, т.е. между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существуют два реберно не пересекающихся пути. Но тогда ребро <tex>x</tex> не является мостом графа <tex>G</tex>. Противоречие.

<tex>(2) \Rightarrow (4)</tex> В условиях определения (4) пусть существует такие вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, что между ними существует простой путь <tex>P: x \notin P</tex>. Но тогда граф <tex>G - {x}</tex> - связный. Противоречие.

<tex>(4) \Rightarrow (3)</tex> Возьмем <tex>\forall u \in U</tex> и <tex>\forall w \in W </tex>. Тогда <tex>\forall</tex> простой путь <tex>u \rightsquigarrow w</tex> содержит ребро <tex>x</tex>. Утверждение доказано

<tex>(3) \Rightarrow (1)</tex> Пусть <tex>(a, b) = x</tex>. Пусть ребро <tex>x</tex> не является мостом по определению (1).
Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> есть простой путь <tex>P = (a \rightsquigarrow b) : P \land x = \varnothing</tex>. Составим такой путь <tex>Q</tex>, что <tex>Q = ((u \rightsquigarrow w) \lor P) - x</tex>. Заметим, что он будет без разрывов. Сделаем путь <tex>Q</tex> простым (пройти по пути <tex>Q</tex>, удаляя все повторяющиеся вершины). Получим простой путь <tex>(u \rightsquigarrow w)</tex>, не проходящий по ребру <tex>x</tex>. Противоречие.
}}

== См.также ==
[[Точка сочленения, эквивалентные определения]]