Редактирование: Мост, эквивалентные определения

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
Пусть <tex> G </tex> {{---}} связный граф.
+
Пусть <tex> G </tex> - связный граф.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Мост''' ''(англ. bridge)'' графа <tex>G</tex> {{---}} ребро, соединяющее две компоненты [[Отношение рёберной двусвязности|реберной двусвязности]] <tex>G</tex>. <tex>(1)</tex>
+
(1) Мост графа <tex>G</tex> - ребро, соединяющее как минимум две компоненты реберной двусвязности <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
 
 
[[Файл:Bridge_1.png|left|thumb|240px|Граф <tex>G</tex>]]
 
<br clear="all"/>
 
 
Пример графа с тремя мостами
 
 
==Эквивалентные определения==
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Мост графа <tex>G</tex> {{---}} ребро, при удалении которого граф <tex>G</tex> становится несвязным. <tex>(2)</tex>
+
(2) Мост графа <tex>G</tex> - ребро, при удалении которого граф <tex>G</tex> становится несвязным.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если в <tex>G</tex> существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что любой простой путь между этими вершинами проходит через ребро <tex>x.</tex>  <tex>(3)</tex>
+
(3) Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если в <tex>G</tex> существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, что любой простой путь между этими вершинами проходит через ребро <tex>x.</tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если существует разбиение множества вершин <tex>V</tex> на такие множества <tex>U</tex> и <tex>W</tex>, что <tex>\forall u \in U</tex> и <tex>\forall w \in W</tex> ребро <tex>x</tex> принадлежит любому простому пути <tex>u \rightsquigarrow w</tex>.  <tex>(4)</tex>
+
(4) Ребро <tex>x</tex> является мостом графа <tex>G</tex>, если существует разбиение множества вершин <tex>V</tex> на такие множества <tex>U</tex> и <tex>W</tex>, что <tex>\forall u \in U</tex> и <tex>\forall w \in W</tex> ребро <tex>x</tex> принадлежит любому простому пути <tex>u \rightsquigarrow w</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 31: Строка 23:
 
|statement = Определения (1), (2), (3) и (4) эквивалентны.
 
|statement = Определения (1), (2), (3) и (4) эквивалентны.
 
|proof =  
 
|proof =  
 +
<tex>(1) \Rightarrow (2)</tex> Пусть ребро <tex>x</tex> соединяет вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Пусть граф <tex> G - {x} </tex> - связный. Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существует еще один путь, т.е. между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существуют два реберно не пересекающихся пути. Но тогда ребро <tex>x</tex> не является мостом графа <tex>G</tex>. Противоречие.
  
<tex>(1) \Rightarrow (2)</tex> Пусть ребро <tex>x</tex> соединяет вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Пусть граф <tex> G - {x} </tex> {{---}} связный. Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существует еще один путь, т.е. между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существуют два реберно-непересекающихся пути. Но тогда ребро <tex>x</tex> не является мостом графа <tex>G</tex>. Противоречие.
+
<tex>(2) \Rightarrow (4)</tex> В условиях определения (4) пусть существует такие вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, что между ними существует простой путь <tex>P: x \notin P</tex>. Но тогда граф <tex>G - {x}</tex> - связный. Противоречие.
 
 
<tex>(2) \Rightarrow (4)</tex> В условиях определения (4) пусть существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, что между ними существует простой путь <tex>P: x \notin P</tex>. Но тогда граф <tex>G - {x}</tex> {{---}} связный. Противоречие.
 
  
 
<tex>(4) \Rightarrow (3)</tex> Возьмем <tex>\forall u \in U</tex> и <tex>\forall w \in W </tex>. Тогда <tex>\forall</tex> простой путь <tex>u \rightsquigarrow w</tex> содержит ребро <tex>x</tex>. Утверждение доказано
 
<tex>(4) \Rightarrow (3)</tex> Возьмем <tex>\forall u \in U</tex> и <tex>\forall w \in W </tex>. Тогда <tex>\forall</tex> простой путь <tex>u \rightsquigarrow w</tex> содержит ребро <tex>x</tex>. Утверждение доказано
  
 
<tex>(3) \Rightarrow (1)</tex> Пусть <tex>(a, b) = x</tex>. Пусть ребро <tex>x</tex> не является мостом по определению (1).
 
<tex>(3) \Rightarrow (1)</tex> Пусть <tex>(a, b) = x</tex>. Пусть ребро <tex>x</tex> не является мостом по определению (1).
Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> есть простой путь <tex>P : P \cap x = \varnothing</tex>. Составим такой путь <tex>Q</tex>, что <tex>Q = ((u \rightsquigarrow a ) \circ P \circ (b \rightsquigarrow w)) </tex>. Сделаем путь <tex>Q</tex> [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|простым]]. Получим простой путь <tex>(u \rightsquigarrow w)</tex>, не проходящий по ребру <tex>x</tex>. Противоречие.
+
Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> есть простой путь <tex>P = (a \rightsquigarrow b) : P \land x = \varnothing</tex>. Составим такой путь <tex>Q</tex>, что <tex>Q = ((u \rightsquigarrow w) \lor P) - x</tex>. Заметим, что он будет без разрывов. Сделаем путь <tex>Q</tex> простым (пройти по пути <tex>Q</tex>, удаляя все повторяющиеся вершины). Получим простой путь <tex>(u \rightsquigarrow w)</tex>, не проходящий по ребру <tex>x</tex>. Противоречие.
 
}}
 
}}
  
 
== См.также ==
 
== См.также ==
* [[Точка сочленения, эквивалентные определения]]
+
[[Точка сочленения, эквивалентные определения]]
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]
 
 
 
==Источники информации==
 
* Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 
 
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: