Изменения

Пусть <mathtex> G </mathtex> {{- --}} связный граф.

'''Мост''' ''(1англ. bridge) Мост '' графа <mathtex>G</mathtex> {{--- }} ребро, соединяющее как минимум две компоненты [[Отношение рёберной двусвязности|реберной двусвязности ]] <mathtex>G</mathtex>. <tex>(1)</tex>

(2) Мост графа <mathtex>G</mathtex> {{- --}} ребро, при удалении которого граф <mathtex>G</mathtex> становится несвязным. <tex>(2)</tex>

(3) Ребро <mathtex>x</mathtex> является мостом графа <mathtex>G</mathtex>, если в <mathtex>G</mathtex> существуют такие вершины <mathtex>u</mathtex> и <mathtex>v</mathtex>, что любой простой путь между этими вершинами проходит через ребро <mathtex>x.</mathtex> <tex>(3)</tex>

(4) Ребро <mathtex>x</mathtex> является мостом графа <mathtex>G</mathtex>, если существует разбиение множества вершин <mathtex>V</mathtex> на такие множества <mathtex>U</mathtex> и <mathtex>W</mathtex>, что <mathtex>\forall u \in U</mathtex> и <mathtex>\forall w \in W</mathtex> ребро <mathtex>x</mathtex> принадлежит любому простому пути <mathtex>u \rightsquigarrow w</mathtex>. <tex>(4)</tex>

<mathtex>(21) \Rightarrow (42)</mathtex> В условиях определения (4) пусть существует такие Пусть ребро <tex>x</tex> соединяет вершины <mathtex>ua</mathtex> и <mathtex>wb</mathtex>, что . Пусть граф <tex> G - {x} </tex> {{---}} связный. Тогда между ними вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> существует простой еще один путь , т.е. между вершинами <mathtex>P: x \notin Pa</tex> и <tex>b</mathtex>существуют два реберно-непересекающихся пути. Но тогда граф ребро <tex>x</tex> не является мостом графа <mathtex>G - {x}</mathtex> - связный. Противоречие.

<mathtex>(2) \Rightarrow (4)</tex> В условиях определения (4) пусть существуют такие вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex>, что между ними существует простой путь <tex>P: x \notin P</tex>. Но тогда граф <tex>G - {x}</tex> {{---}} связный. Противоречие. <tex>(4) \Rightarrow (3)</mathtex> Возьмем <mathtex>\forall u \in U</mathtex> и <mathtex>\forall w \in W </mathtex>. Тогда <mathtex>\forall</mathtex> простой путь <mathtex>u \rightsquigarrow vw</mathtex> содержит ребро <mathtex>x</mathtex>. Утверждение доказано <tex>(3) \Rightarrow (1)</tex> Пусть <tex>(a, b) = x</tex>. Пусть ребро <tex>x</tex> не является мостом по определению (1).Тогда между вершинами <tex>a</tex> и <tex>b</tex> есть простой путь <tex>P : P \cap x = \varnothing</tex>. Составим такой путь <tex>Q</tex>, что <tex>Q = ((u \rightsquigarrow a ) \circ P \circ (b \rightsquigarrow w)) </tex>. Сделаем путь <tex>Q</tex> [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|простым]]. Получим простой путь <tex>(u \rightsquigarrow w)</tex>, не проходящий по ребру <tex>x</tex>. Противоречие.